《线性分组码》PPT课件

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1、第10章线性分组码10.1线性分组码10.2生成矩阵和校验矩阵10.3特殊的线性分组码10.4伴随式和最小距离译码2线性分组码分组码：将长为k位的信息码组变换成n重的码字(n>k)。由2k个信息码组所编成的码字集合，称为(n,k)分组码。码矢：一个n长的码字可以用矢量来表示C=(Cn－1,Cn－2,…,C1,C0)所以码字又称为码矢。编码速率/编码效率/码率/传信率：R=k/n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码性能的一个重要参数。3线性分组码码字重量：码字中非0码元符号的个数，汉明重量。在二元线性码中，码字重量是码字中含“1”的个数

2、。等重码:所有码字具有相同的重量.汉明距离：在(n,k)分组码中，两个码字U、V之间对应码元位上符号取值不同的个数。最小距离dmin：任意两个码字间距离最小值.例如：(7,3)码的两个码字U=0011101,V=0100111，它们之间第2、3、4和6位不同。因此，码字U和V的距离为4。4线性分组码汉明球：以码字C为中心，半径为t的汉明球是与C的汉明距离≤t的向量全体SC(t)任意两个汉明球不相交最大程度取决于任意两个码字之间的最小汉明距离dmin。5线性分组码线性分组码：ci,cj是GF(q)上(n,k)分组码中的两个码字,a,bG

3、F(q)上两个元素,如果aci+bcj也是一个码字,称码为线性分组码。(包含全0码字，取a=-b)码的最小距离是衡量码的抗干扰能力（检、纠错能力）的重要参数。码的最小距离越大，码的抗干扰能力就越强。6线性分组码有限域上的分组码当D是素数时，分组码可以充分利用有限域GF(D)的代数运算，使得编码和译码更加简便。定义取GF(D)上的一个K行N列的矩阵G，它是满行秩的。(N,K)分组码定义为(u1,u2,…,uN)=(x1,x2,…,xK)G其中(x1,x2,…,xK)是信息向量，(u1,u2,…,uN)是对应的码字。（1）称此码为D元(N

4、,K)线性分组码。（2）称矩阵G为此码的生成矩阵。7线性分组码线性分组码的代数结构命题1不同的信息向量对应不同的码字。（变换u=xG是单射）命题2生成矩阵G的第1行是信息向量(1,0,0,…,0)的码字；生成矩阵G的第2行是信息向量(0,1,0,…,0)的码字；…生成矩阵G的第K行是信息向量(0,…,0,0,1)的码字。8线性分组码命题3信息向量(x1,x2,…,xK)的码字是：x1数乘G的第1行，加x2数乘G的第2行，加…，加xK数乘G的第k行。即任何一个码字都是生成矩阵G的线性组合。命题4当u(1)和u(2)都是码字，u(1)+u

5、(2)也是码字。（线性分组码的码字关于线性运算封闭）证明设u(1)是信息向量x(1)的码字：u(1)=x(1)G；u(2)是信息向量x(2)的码字：u(2)=x(2)G。则u(1)+u(2)=x(1)G+x(2)G=(x(1)+x(2))G，即u(1)+u(2)是信息向量(x(1)+x(2))的码字。9线性分组码（命题3和命题4告诉我们，一个N维向量是一个码字，当且仅当它是生成矩阵G的第1行~第L行的线性组合。还告诉我们，线性分组码的码字集合构成一个线性空间。这个线性空间是几维的？L维的，因为生成矩阵G的第1行~第L行恰好是该线性空间

6、的一组基底）10线性分组码命题5设一个D元(N,K)线性分组码的生成矩阵为G。设另一个D元(N,K)线性分组码的生成矩阵为G’=MG，其中M是K阶可逆方阵。则两个码的码字集合完全重合，只是信息向量与码字的对应关系不同。换句话说，如果把线性分组码的生成矩阵G做可逆行变换变成另一个生成矩阵，则不改变码字集合，只改变信息向量与码字的对应关系。11线性分组码证明（要证明，第一个码中任一个码字也是第二个码中的码字；第二个码中任一个码字也是第一个码中的码字）设在第一个码中，u是信息向量x的码字：u=xG；则在第二个码中，u是信息向量xM-1的码字

7、：u=xM-1MG=xM-1G’。设在第二个码中，u是信息向量x的码字：u=xG’；则在第一个码中，u是信息向量xM的码字：u=xMM-1G’=xMG。12线性分组码线性分组码的特例：系统码定义D元(N,K)线性分组码的生成矩阵为G=[PK×(N-K),IK]，其中IK是K阶单位阵，PK×(N-K)是(N-K)×K阶矩阵。则称此码为系统码。此时信息向量(x1,x2,…,xK)的码字是(u1,u2,…,uN)=(x1,x2,…,xK)G=((x1,x2,…,xK)PK×(N-K),x1,x2,…,xK)。码字的后K位恰好是信息向量(x1

8、,x2,…,xK)，称为码字的信息位。称码字的前N-K位为码字的一致校验位。13线性分组码例二元(7,4)码是线性分组码，生成矩阵G是由信息向量(1000)、(0100)、(0010)、(0001)的码字组成的4行该码是