概率论与数理统计课件第7章.ppt

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1、第7章参数估计1第7章参数估计在前面的准备工作后，下面我们要进行统计推断。统计推断是数理统计的核心内容。统计推断就是利用样本提供的信息推断总体分布或总体的某些数字特征，从而认识总体。统计推断分为两大类：一类是参数估计，另一类是假设检验。本章介绍参数估计。2§7.1参数估计的基本概念如果总体分布的形式是已知的，但它含有一个或多个参数是未知的，则利用总体的样本来估计总体未知参数的问题就是参数估计问题。参数估计又分为点估计和区间估计两类问题。3§7.2点估计点估计的方法很多，常用的有矩法、极大似然法、顺序统计量法和最小二乘法等。本节主要介绍矩法和

2、极大似然法。47.2.1矩法如果总体X的前k阶原点矩存在，由辛钦大数定律知，样本的l阶原点矩收敛到总体的l阶原点矩，l＝1,2,…,k。因此，可以用样本的l阶原点矩作为总体的l阶原点矩的估计量。从而得到总体分布中参数的估计量。这种估计方法称为矩估计法。得出的估计量称为矩估计量。矩估计量的观测值称为矩估计值。5矩法优缺点优点:矩估计法直观、简便，且在估计总体均值和方差时，不需要知道总体的分布。不足：首先，矩估计法要求总体原点矩存在，而有些总体的原点矩是不存在的，不能用矩估计法，例如柯西分布的数学期望不存在；其次，矩估计法未能充分利用总体分布所

3、提供的信息，个别情形可能出现以偏概全的情况，因此不能保证估计量有优良的性质。67.2.2极大似然法极大似然估计法通过总体X的分布函数的已知形式及样本所提供的信息，采用概率极大化的原则建立未知参数的估计量。例如，设一袋中有黑白球共10个，已知两种颜色的球数比为1：9，但不知道白球是9个，还是黑球是9个。现从袋中有放回地摸球3次，结果3次都是白球，77.2.2极大似然法由此推断袋中有9个白球。因为，当袋中白球是9个时，3次摸白球的概率为0.729；当袋中白球是1个时，3次摸白球的概率为0.001。因此，当3次摸到3个白球时，认为袋中有9个白球比

4、袋中有1个白球要更合理。这就是极大似然估计法的思想，极大似然估计法就是在参数空间中选取使得样本取得观测值的概率最大的参数。87.2.2极大似然法如果总体X是离散型，其分布律的函数形式已知，为待估计的未知参数，设是X的样本，是样本的一个观测值，则样本取得此观测值的概率为97.2.2极大似然法如果总体X是连续型，其密度函数的函数形式已知，为待估计的未知参数，设是X的样本，是样本的一个观测值，则样本在此观测值的邻域取值的概率近似为107.2.2极大似然法极大似然估计法就是在的可能取值范围内挑选使样本取得观测值的概率达到最大的参数值作为未知参数的估

5、计值。此概率的大小取决于或，由此定义似然函数：117.2.2极大似然法似然函数：离散型：连续型：127.2.2极大似然法似然方程组:13极大似然法优缺点极大似然估计法克服了矩估计法存在的不足，它充分利用了总体分布函数的信息，它具有许多优良性质。不足的是有时似然方程的求解非常困难，甚至不得不采用数值方法。14§7.3估计量优劣的评价标准7.3.1无偏性:在重复抽样下估计值与参数真值之间的偏差的平均值是0，即估计量的数学期望等于未知参数的真值，这就是无偏性标准。15§7.3估计量优劣的评价标准无偏性:(1)无偏估计量:(2)渐近无偏估计量:无偏

6、估计量取值相对于参数真值的集中程度引出有效性：比有效：相合性：。定理7.3.116§7.4区间估计点估计是用一个估计量的观测值来估计未知参数的真值，实际上是未知参数的真值的一个近似值，它与真值之间是有误差的。有时需要确切地知道近似值的精确程度，即真值所在的范围----这种范围通常以区间的形式给出，以及这种范围包含参数真值的可信程度（置信度）。这种范围在数轴上是一个区间，这种形式的估计就是区间估计，这样的区间就是置信区间。17§7.4区间估计需要构造两个适当的统计量与，它们构成一个随机区间，并用它们的观测值所构成的区间来估计未知参数的取值范围

7、。当然，我们希望区间要以较大的概率(置信度)包含未知参数，同时还要保证区间长度尽可能短，即估计的精确度尽可能高。187.4.2单个正态总体置信区间1.参数的置信区间（1）当已知时，（2）当未知时，197.4.2单个正态总体置信区间2.参数的置信区间（1）如果总体均值已知：其中，（2）如果总体均值未知：20