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1、§2方阵的特征值与特征向量一.特征值与特征向量的概念定义6设A为n阶方阵,如果数λ和n维非零列向量x,使关系式Ax=λx成立,那么,称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。（1）也可以写成(A－λE)x=0（2）(1)这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式︱A－λE︱=0(3)由此,我们可由(3)求A的特征值,由(2)求A的特征向量1、特征多项式f(λ)=︱λE－A︱2.特征方程︱A－λE︱=0即3.A的迹二、特征值与特征向量的性质，由
2、高次方程的韦达定理不难证明:性质1.性质2.例1证明方阵A可逆的充分必要条件是零不是A的特征值。证必要性:因为A可逆,所以︱A︱≠0,由性质2从而零不是A的特征值.充分性:,从而由性质2故A可逆.同理可证:A不可逆的充要条件是A有零特征值。三、特征值与特征向量的求法1、由︱A－λE︱=0,求A的n个特征值.2、由Ax=λx,求抽象矩阵的特征值.3、由(A－λE)x=0,求A的特征向量.例2求矩阵的特征值和特征向量。解:①由︱A－λE︱=0，求A的全部特征值，得A特征值为②由(A－λE)x=0,求A的特
3、征向量解方程（A－2E）x=0由～得基础解系解方程（A－E）x=0由～得基础解系例3求矩阵的特征值和特征向量解(1)由︱A－λE︱=0,求A的全部特征值。得A的特征值为(2)由︱A－λE︱x=0,求A的特征向量。当时,解方程（A+E）x=0由～得基础解系所以对应于的全部特征向量为，解方程（A－2E）x=0,由～得基础解系例4设是方阵A的特征值,证因为λ是方阵A的特征值,设为P≠0,使AP=λP,于是例5设3阶方阵A满足求A的特征值解设λ是A的特征值,x是A的关于λ所对应的特征向量则Ax=λx，从而又x
4、≠0,所以从而即λ(λ－1)(λ－2)=0故得A的特征值为：例6若λ是可逆阵A的特征值,x是A的关于λ所对应的特征向量,则证。。。由上面各例类推,不难证明,若λ是A的特征值,例7设有4阶方阵A满足︱A+3E︱=0,解，四、特征值与特征向量的有关定理定理2⑴⑵在（2）两边左乘A，⑶依次做下去(m)将上面m个式子联立成线性方程组,得向量方程组由于系数行列式是范得蒙行列式,所以由克莱默法则知,向量方程组仅有零解.即（※）即整理,得=0其系数行列式是4阶范得蒙行列式,所以上面方程组仅有零解由（※）知作业:12
5、6页4题
