数值积分与数值微分课件.ppt

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1、计算方法第四章数值积分与数值微分9/25/20211第四章数值积分与数值微分4.2牛顿-柯特斯公式4.3复合求积法4.4龙贝格求积公式4.5高斯求积法4.1引言9/25/202124.1引言对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:4.1.1数值求积的基本思想9/25/20213以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法9/25/20214对于，若则I对应于曲边梯形的面积。9/25/20215如果我们用两端点“高度”与的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式这就是我们熟悉的梯形公式

2、9/25/20216在区间[a,b]上的定积分，其某个数值积分公式就是在区间的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值[a,b]内取n+1个点。利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可以导出所谓中矩公式（简称矩形公式）9/25/20217式中称为求积结点；称为求积系数，亦称伴随结点的权。这类数值积分方法通常称为机械求积。9/25/202184.1.2代数精度的概念数值求积方式是近似方法，为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确

3、地成立。这就提出了所谓代数精度的概念。9/25/20219定义1.若求积公式则称该求积公式具有m次的代数精度9/25/202110不难验证，梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。一般的要使机械求积公式具有m次代数精度，只要令它对于都能准确成立，这就要求为了构造出机械求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题。9/25/202111例：9/25/2021129/25/2021134.1.3插值型的求积公式且已知函数在这些节点上的值，作插值函数由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们取积分数值计算的方法很多,但为方便起见,最常用的

4、一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式具体步骤如下:9/25/202114作为积分的近似值，这样构造出来的求积公式称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数积分得出9/25/202115由插值型的求积公式的余项可推得由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项式中与变量有关.的求积公式至少有n次代数精度定理1形如的充分必要条件是，它是插值型的.9/25/2021164.1.4求积公式的收敛性与稳定性定义2在机械求积公式中，若其中，则称此求积公式是收敛的定理2若求积公式中系数则此求积公式是稳定的.9/25/202117例

5、1.试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.解:9/25/202118因此所以该积分公式具有3次代数精确度9/25/202119本章作业P1581(1)(2)(3),2(1)(2)(用梯形公式计算)9/25/2021204.2牛顿-柯特斯公式4.2.1柯特斯系数牛顿-柯特斯公式是指等距节点下使用拉格朗日插值多项式建立的数值求积公式各节点为9/25/202121而因此对于定积分9/25/202122有9/25/202123即有n阶牛顿-柯特斯求积公式牛顿-柯特斯公式的余项(误差)9/25/202124注意是等距节点9/2

6、5/202125所以牛顿-柯特斯公式化为9/25/202126n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905…　　…　　　…　　　…　　…　　…下表列出柯特斯系数表开头的一部分表4-19/25/2021274.2.2偶阶求积公式的代数精度定理3当阶为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有次代数精度.证明：我们只要验证，当为偶数时，牛顿-柯特斯公式对的余项为零引进变换，并注意到，有9/25/202128若为偶数，则为整数，再令，进一步有由于被积函数是个奇函数，且积分区间关于

7、原点对称，所以9/25/202129§4.2.3几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项在牛顿-柯特斯公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要的三个公式,称为低阶公式1.梯形公式及其余项柯特斯系数为9/25/202130上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为求积公式为9/25/202131梯形公式的余项为9/25/2021322.辛普森公式及其余项柯特斯系数为求积公式为9/25/202133上式称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式记为辛普森公式的余项为辛普森公式具有3次代数精度9/25/2021343.柯特斯公式及其余

8、项柯特斯系数为9/25/202135求积公式为上式称为柯特斯求积公式，也称五点公式记为柯特斯公式的余项为柯特斯公式具有5次代数精度9/25/202136考察柯特斯系数因此用牛顿-柯特斯公式计算积分的舍入误差主要由其值可以精确给定§4.2.4牛顿-柯特斯公式的稳定性(舍入误差)