弹塑性力学第04章课件.ppt

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1、第四章弹性力学空间问题§4-l空间轴对称问题的基本方程§4-2按位移求解空间轴对称问题§4-3按应力求解扭转问题§4-4椭圆截面杆的扭转§4-5弹性扭转的薄膜比拟§4-6矩形截面杆的扭转§4-l空间轴对称问题的基本方程在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来作用都对称于某一轴，通过此轴的任一平面都是对称面，则所有的应力、应变和位移也都对称于此轴。柱坐标（r,θ，z）是以z轴为对称轴的。x=rcosθy=rsinθz=z图（4-1）1．平衡微分方程在轴对称情况下，由于方向的对称性，切应力τθz=τzθ=0，τrθ=τθr=0；应力分量σr，σθ，σz，τzr，均为r与z的函数

2、；体力分量只有沿r与z方向的Fr与Fz；则可得r与z方向的平衡微分方程：（4-1）2．几何方程轴对称情况下，只剩下位移分量ur，w，应变分量剩下εr，εθ，εz，γzr，且都与θ无关。（4-2）3．物理方程根据各相同性假设，且柱坐标和直角坐标都是正交坐标，所以柱坐标中的物理方程在形式上应于直角坐标一样，再注意到轴对称情况下的应力和应变的简化，得出物理方程：（4-3）§4-2按位移求解空间轴对称问题空间轴对称柱坐标形式的拉梅方程用位移作为基本未知量求解空间轴对称问题，必须使以前应力表示的平衡微分方程用位移分量来表示。将式（4-2）代入式（4-3），然后代入式（4-1），可以得到空间轴对称柱坐标

3、形式的拉梅方程：（4-4）其中拉普拉斯算子乐甫位移函数ψ（r，z），位移分量为代入无体力时拉梅方程，第一式自动满足，第二式变成空间轴对称位移解法归结为在给定的边界条件下求解双调和方程（4-6）。（4-6）(4-5)借助于乐甫（Love）位移函数求解空间轴对称问题在求得乐甫位移函数后，还可以求得相应的应力分量为（4-7）能够满足式（4-6）的双调和函数列出如下：式中上述线性组合仍满足（4-6）。（4-8）（一）无限体内受集中力（不计体力）的问题设无限体内一点受集中力P的作用，如图所示，求不计自重时的位移及相应的应力分布，这是一个轴对称的问题，又称开尔文（Kelvin）问题。可采用乐甫位移函数求

4、解。图（4-3）求解该问题的方程和边界条件为：其中，边界条件为z=±a（a为任意常数）剖面上的正应力的合力和P力之间的平衡关系。乐甫位移函数的选取，可以由量纲分析法来着手，因为应力分量正比于P，因而应力为P乘以长度坐标（r,z）的负二次幂，再从式（4-7）可见，乐甫位移函数ψ的长度的量纲要高于应力分量长度量纲的三次，因而ψ必须为长度的一次幂的双调和函数。现试取（4-9）（a）这是式（4-8）中已列出的一次幂函数，它是满足式（4-6）中的双调和方程的。将它代入式（4-5）及式（4-7），可以求得（b）（c）注意在式（b）与式（c）中，位移与应力的各分量在坐标原点是奇异的，在无穷远处为零。为了求

5、出待定系数B，由式（4-9）的边界条件，有从而有将B式代入式（b）与式（c），即可求得相应的位移分量与应力分量（4-11）（4-10）在z=0的水平面上，所有正应力分量为零，切应力为可见，切应力与作用力P的距离平方成反比。（二）半无限体表面受法向集中力（不计体力）的问题这是著名的布希涅斯克（Boussinesq,T.V.）问题（图4-5）。也是轴对称的问题，为了求得乐甫位移函数，经过类似的量纲分析，可以设定ψ为长度的一次幂函数。图4-5ψ=B1R+B2[R-zln(R+Z)]由式（4-8）中的一次幂函数进行线性组合，得到该函数ψ必须满足双调和方程和边界条件（e）（d）（f）式（d）表示的乐甫

6、位移函数，显然满足式（e）。将式（d）代入式（4-5），求得位移分量，再代入式（4-7），得应力分量（4-12）（4-13）将有关应力分量σz和τrz代入边界条件式（c），第一个条件自动满足，由第二个条件得到（1-2v）B1+B2=0（g）而式（c）的第三个条件表示在半空间体的z为任意深的水平截面上的应力的合力与力P的平衡，经变量置换后积分，可得P=4πB1（1-v）+2πB2（h）联立式（g），（h），解得从而代入式（4-12）、式（4-13），便有(4-14)(4-15)在以上分析中，由于z=0，则R成为r，表示地基表面上任意一点离开作用力P的距离。在工程上，上述结果可以用来分析地基承载

7、力与地基沉降的问题。由（4-15）式可以看出应力分量随R增大而减小，而当R减小而趋于零时，应力迅速增大，直至无穷大。当z=0时，σz=τrz=0而，即在地基表面受纯剪作用，当地基受桩基作用时，常常会出现剪切损坏的现象。由式（4-14）可见，当z=0时，可以得到沉陷（表面法向位移）公式：（4-16）§4—3按应力求解扭转问题扭转问题的提出：（1）等截面的柱体；（2）无体力作用；（3）柱体的侧面无任何面力作用；（