自动控制原理课后答案第4章.pdf

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1、第4章根轨迹法【基本知识点】1、根轨迹的基本概念所谓根轨迹，是指系统开环传递函数的某一参量从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在[s]平面上变化而形成的轨迹。2、根轨迹方程设单闭环控制系统的一般结构如图4-1所示，其中G(s)和H(s)分别为系统前向通道和反馈通道的传递函数，则该系统的开环传递函数为G(s)H(s)，闭环传递函数为Gs()()s1GsHs()()图4-1单闭环控制系统的结构图将开环传递函数表示成零、极点形式，即m(sz)jj1GsHs()()Kn(spi)i1式中，z和p——开环传递函数的零、极点，i1,2,,n，j1,2

2、,,m，nm。jiK——系统的开环根轨迹增益。将其代入闭环特征方程1GsHs()()0中，整理得到系统的根轨迹方程为m(sz)jj1K1n(spi)i13、根轨迹的幅值条件和相角条件由根轨迹方程，可得幅值条件nspii1Kmszjj11相角条件mn(szj)(spi)(2k1),k0,1,2,j1i14、根轨迹绘制的基本规则绘制根轨迹的9条基本规则归纳如下：表4-1绘制根轨迹的基本规则序号名称规则1根轨迹的连续性和对称性根轨迹具有连续性，且关于实轴对称2根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环极点数n相

3、等根轨迹的各条分支始于开环极点，终于开环零点3根轨迹的起点和终点当n≥m时，起点为：n个开环极点；终点为：m个开环有限零点和（n-m）个开环无限零点对于实轴上的某一区段，若其右侧实轴上的开环零、极点数目之和为奇数，则4实轴上的根轨迹该段实轴必为根轨迹n-m条根轨迹渐近线与实轴的交角和交点分别如下：(2k1)交角：(k0,1,2,,nm1)anm5根轨迹的渐近线nmpziji1j1交点：anm分离点或会合点坐标由下式之一确定：n1m1①i1spij1szj6根轨迹的分离点和会合点②AsBs()'()AsBs'()()0

4、dK③0dsmn出射角：pl(2k1)ji,l1,2,,,nk0,1,2,j1i1il7根轨迹的出射角和入射角nm入射角：zg(2k1)ij,g1,2,,,mk0,1,2,i1j1jg*根轨迹与虚轴交点的坐标和临界开环根轨迹增益K，可由下列方法之一确定：8根轨迹与虚轴的交点①利用劳斯判据计算②用s＝jω代入闭环特征方程式求解nn根之和：slpi（n-m≥2）l1i1nnm根之积：nnm9根之和与根之积(1)sl(1)pi(1)Kzjl1i1j1nnnn（系统无

5、开环零点时）(1)s(1)pKlil1i15、根轨迹与系统性能之间的关系根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。2【重点与难点】1、根轨迹的绘制熟练掌握根轨迹绘制的基本法则。规则1：根轨迹的连续性和对称性根轨迹具有连续性

6、，且关于实轴对称。规则2：根轨迹的分支数对于一般的系统有n≥m，根轨迹的分支数与开环极点数n相等。说明：根轨迹的分支数一般与闭环特征方程式的根的数目相同，而闭环特征方程式的根的数目等于开环极点数n。规则3：根轨迹的起点和终点根轨迹的各条分支始于开环极点，终于开环零点。说明：当n≥m时，起点为n个开环极点；终点为m个开环有限零点和（n-m）个开环无限零点。规则4：实轴上的根轨迹对于实轴上的某一区段，若其右侧实轴上的开环零、极点数目之和为奇数，则该段实轴必为根轨迹。规则5：根轨迹的渐近线(1)根轨迹中n-m条趋向于无穷远处的渐近线与实轴正方向的夹角，即为渐近线的倾角(2k

7、1)(k0,1,2,,nm1)anm(2)根轨迹中n-m条趋向于无穷远处的渐近线与实轴的交点为，即为渐近线的起点nmpizji1j1anm规则6：根轨迹的分离点和会合点d两条或两条以上的根轨迹分支在[s]平面上相遇后又立即分开的点，称为根轨迹的分离点或会合点。若根轨迹分支沿实轴相向移动，在实轴上的d点相遇后离开实轴进入复平面，此时的d点称为根轨迹的分离点；若根轨迹分支由复平面进入实轴上的d点会合，然后沿实轴反向移动，此时的d点称为根轨迹的会合点。根轨迹的分离点和会合点，有如下两个性质：1)如果根轨迹位于实