自动控制原理课后答案第2章.pdf

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1、第2章控制系统的数学模型【基本知识点】1.数学模型系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。常用的数学模型有微（差）分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性及状态空间描述等多种形式，本章主要介绍四种，即微分方程、传递函数、结构图和信号流图。控制系统数学模型的建立方法有解析法和实验法。用解析法建立系统的数学模型时，应根据元件及系统的特点和连接关系，按照它们所遵循的物理、化学规律，列写各物理量之间关系的数学表达式；用实验法建立控制系统的数学模型时，要对系统施加典型测试信号（阶跃、脉冲和正

2、弦信号等），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性。建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。求取系统性能指标的主要途径如图2-1所示。图2-1求取性能指标的主要途径2.系统的微分方程系统微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型。建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：（1）根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量；（2）根据物理或化学定律（注意考虑负载效应），列出系统各组成元件的原始方程；（3）在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；（4）从系统输入端开始，依照信号的

3、传递顺序，在所有元件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程；（5）对求出的系统微分方程进行标准化处理，即将与输出有关的各项放在等号左侧，1而将与输入有关的各项置于等号右侧；等号左、右侧各项均按降幂形式排列。求解线性微分方程的方法有很多，在自动控制理论中常用拉氏变换法求解微分方程，其解即是系统的时间响应函数，方法和步骤如下：（1）对微分方程的各项进行拉氏变换；（2）对变换后的方程进行整理，求出待求变量的像函数表达式；（3）对像函数进行拉氏反变换，可得到对应的原函数表达式，即是系统的时间响应函数。3.传递函数（1）传递函数的定义对于线性定常

4、连续系统，在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。传递函数是为方便进行系统分析所引出的数学模型的另外一种形式。由它的定义可知，传递函数只适合于线性定常连续系统。（2）传递函数的性质①传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn，且所有系数均为实数。②传递函数是系统输入输出关系的表达式，它只取决于系统的结构参数，与系统的输入信号的具体形式无关，只与系统输入输出信号的位置有关，即与系统或元件的结构和参数有关。③传递函数与微分方程是一一对应的，可相互转换。④传递函数的拉氏反变换是系统在单位脉冲作用下的响应，其脉冲响应反映了系统的固有特

5、性。⑤一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。（3）传递函数的局限性①传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，对于多输入多输出系统，则应采用传递函数矩阵表示系统各变量之间的关系。②传送函数原则上只反映零初始条件下的动态特性。（4）传递函数的求取传递函数的求取方法有三种：①利用传递函数的定义；②利用结构图等效变换；③利用信号流图。利用传递函数的定义求解传递函数，主要适合于求典型环节传递函数的情况。结构图是系统传递函数的图形化表示。它最大的优点是可以形象直观地表示出动态过程中系统各环节的数学模型及其相互关系。通过结构图的等效变换可以求出系统的传递函数。由结

6、构图等效变换求解传递函数，主要是移动比较点和引出点的位置（见表2-1），将其化为三种典型的连接形式，即串联、并联和反馈连接，从而求得系统或环节的传递函数。应注意的是，变换过程中相加点和分支点之间一般不宜相互变换位置。信号流图也是一种用图形表示线性系统方程组的方法。信号流图与结构图在本质上是一样的，只是形式上不同。其中需要重点掌握的术语有前向通路、回环、不接触回环等。它的2最大优点是通过梅逊增益公式可以很方便快捷地求出系统的传递函数。使用这种方法的关键在于对系统回环的判断是否正确。表2-1系统结构图等效变换基本规则3原方框图等效方框图说明串联等效RCRCGs1(

7、)Gs2()GsGs1()2()Cs()GsGsRs()()()12RCGs()1并联等效RCGs()Gs()12Cs()[Gs()GsRs()]()12Gs()2RC反馈等效Gs()1RGs1()CGs1()Cs()Rs()1GsGs1()2()1GsGs1()2()Gs()2单位负反馈等效RCR1CGs1()Gs2()Gs1()Gs()Gs()Cs()1Rs()21GsGs()()21GsGs()()Gs()122Rs()Gs()1GsGs()()212比较点前移RCRCGs()Gs()Cs()GsRs()()Qs(

8、)Q1Q1GsRs()[()Qs(