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1、第六章方程求根6.1根的搜索在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0(6.1)的求根问题,其中f(x)为非线性函数.如果f(x*)=0,则x*称为方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知,f(x)=0在(a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间.如果f(x)可以分解成其中m为正整数且则称x*是f(x)的m重零点,或方程f(x)=0的m重根.若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1)当且仅当当m=1时称x*为单根
2、.零点或根的重数当f(x)不是x的线性函数时,称对应的函数方程为非线性方程.如果f(x)是多项式函数,则称为代数方程,若f(x)是三角函数、指数函数、对数函数等,称为超越方程.一般称n次多项式构成的方程为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解.记笔记本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法区间法迭代法Newton法弦截法抛物线法….逐步搜索法二分法….通常方程求根的数值解法大致分为三个步骤进行①判定根的存在性.即方程有没有根？如果有根,有几个根？②确定根的分布范围.即将每
3、一个根用区间隔离开来,这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值.③根的精确化.将根的初始近似值按某种方法逐步精确化,直到满足预先要求的精度为止本章介绍方程求根的数值解法,它既可以用来求解代数方程,也可以用来解超越方程,并且仅限于求方程的实根.运用迭代解方程的根应解决以下两个问题：确定根的初值;将进一步精确化到所需要的精度.记笔记6.1.1逐步搜索法为明确起见，不妨假定f(a)<0,f(b)>0.从有根区间[a,b]的左端的x0=a出发，按照某个预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查节点xk=a+kh上的函数值f(xk)的符号，
4、一旦发现f(xk)与f(a)异号,则可以确定一个缩小了的有根区间[xk-1,xk],其宽度等于预定的步长h例6.1方程f(x)=x3-x-1=0,确定其有根区间.xf(x)00.51.01.5–––+可以看出,在[1.0,1.5]内必有一根.解：不难发现f(0)<0,f(2)>0,知f(x)在区间(0,2)内至有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下用逐步搜索法的关键是选取步长h只要h取得足够小,利用此法可以得到具有任意精度的近似根.相应的,所需要的搜索步数增多，计算量增大6.1.2二分法二分法又称二分区间法,是求解方程(6
5、.1)的近似根的一种常用的简单方法.二分法的基本思想:首先确定有根区间,将区间二等分,通过判断f(x)的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小,便可求出满足精度要求的近似根.①取有根区间[a,b]的中点将区间分为两个小区间,然后在[a,x0]和[x0,b]中确定新的有根区间，记其为[a1,b1]求根过程②对压缩了的有根区间施行同样的手法,即取中点,将区间再分为两半,然后再确定有根区间,其长度是的二分之一③如此反复下去,若不出现,即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间的一半,因此的长度当k→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x*即为
6、所求的根.每次二分后,取有根区间的中点作为根的近似值,得到一个近似根的序列该序列以根x*为极限只要二分足够多次(即k足够大),便有这里ε为给定精度,由于,则(6.2)当给定精度ε＞0后,要想成立,只要取k满足即可,亦即当:时,计算得到的就是满足精度要求的近似根.在程序中通常用相邻的与的差的绝对值或与的差的绝对值是否小于ε来决定二分区间的次数.二分法算法实现例6.2求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1.0,1.5]内的一个实根,使误差不超过0.5×10-2.且f(x)在[2,3]上连续,故方程f(x)=0在[2,3]内至少有一个根.证明令由例6.3证
7、明方程在区间[2,3]内有一个根,使用二分法求误差不超过0.5×10-3的根要二分多少次？又当时故f(x)在[2,3]上是单调递增函数,从而f(x)在[2,3]上有且仅有一根.误差限为只要取k满足即可,亦即所以需二分10次便可达到要求.给定误差限＝0.5×10-3,使用二分法时二分法的优点是不管有根区间多大,总能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高,只要连续即可,计算亦简单;它的局限性是只能用于求函数的实根,不能用于求复根及重根,它的收敛速度与比值为的等比级数相同.6.2迭代法6.2.1迭代法过程的收敛性为求解非线性方程f(x)=0的根,先
8、将其写成便于迭代的等价方程(6.3)其中为x的连续函数.即任取一个初值代入式的右
