概率论习题课课件.ppt

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1、概率论与数理统计习题课（三）基本内容与重要结论：1.随机变量的数学期望及其性质。佚名统计学家公式（随机变量独立时）2.随机变量的方差及其性质。请关注：常见分布的数学期望和方差。13.随机变量的协方差及其性质。4.随机变量的相关系数。若X与Y独立特别地,对正态分布随机变量,独立与不相关等价.24.随机变量的相关系数（续）。5.正态分布的相关性质。6.切比雪夫不等式：7.三个大数定律。8.两个中心极限定理。①独立同分布中心极限定理；②棣莫弗—拉普拉斯定理。3例1.设随机变量X取值为其对应概率为尽管但由于可见E(X)不存在，从而D(X)也不存在。点评：级数条件收敛而不绝对收敛，

2、E(X)不存在。4例2从一个装有a只黑球和b只白球的袋中每次取出一只球，直到取出黑球时为止，如果每次取出的球仍放回原袋中，求取出白球数的数学期望和方差。解:设Y表示取出的白球数,则Y的分布律为记则X=Y+1服从几何分布.5只记首次成功前的失败次数，也常被定义为另一种“几何分布”，请注意两种几何分布定义的联系与区别！评点：6例3设一次试验成功的概率为p，进行100次独立试验，求成功次数的数学期望和方差；当p为何值时，成功次数的方差最大？预报晴雨难还是预测出正面难？—评点：通过掷硬币决定命运最无把握！7例4设随机变量X的概率密度为对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/

3、3的次数，求Y2数学期望。注：此题为研究生入学试题。解:8例5设随机变量U在[-2，2]上服从均匀分布，随机变量求：①X和Y的联合分布；②D(X+Y).解:①9X和Y的联合分布律：②X+Y的分布为：注：此题为研究生入学试题。10例6游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早上8点的第X分钟到达底层的候梯处，且X在[0，60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。评点：此题是硕士研究生入学试题。例7设随机变量X在[a,b]中取值，证明下列不等式成立，并说明等号在何种情况下成立。评点：实际中要真正理解方差的含义!

4、11计算数学期望和方差的方法与技巧小结：①直接利用定义求解。求离散型随机变量的数字特征时，常遇到级数求和，常用的公式有：②利用常见分布的数学期望和方差公式。12③利用数学期望和方差的性质。此法常使复杂问题简单化。④在求随机变量函数的数学期望和方差时，不必先求出随机变量函数的分布，而是直接用原来随机变量的概率分布。例8设随机变量X和Y的联合分布如下：0.150.200.180.320.070.0801-1YX01求X2和Y2的协方差。评点：此题是2002年硕士研究生入学试题。13例9将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，求X和Y的相关系数。评点：此

5、题是根据2001年硕士研究生入学试题改编。重在介绍离散型随机变量协方差的计算。例10设随机变量X与Y都只取两个值，且相关系数为零。证明：X与Y独立。评点：①不相关与独立等价的重要特例有两个。一个是二维正态分布，另一个是本例。②本题的证法是捷径。若直接对一般场合证明，须经烦琐的运算。③2000年研究生入学试题曾采用本题的变形。14例11设X1,X2,…,Xn相互独立同分布，已知证明：当n充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。评点：此题是历史上硕士研究生入学试题。例12一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用

6、最大载重量为5吨的汽车来承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977？评点：此题是2001年硕士研究生入学试题。15