曲线的凹凸性与拐点资料课件.ppt

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1、一、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线三、函数图形的描绘第3节曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘如图所示，曲线弧ABC部分是向下弯曲的，这时曲线位于切线的下方；而曲线弧CDE部分是向上弯曲的，曲线位于切线的上方．一、曲线的凹凸性与拐点CAyEBDxOacb定义如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称这条曲线弧是凹的；如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称这条曲线弧是凸的．定理设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数.（证明从略）例1判断曲线y=x3的凹凸性．解定义连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，称为曲线y=

2、f(x)的拐点．分析：由上述定理可知，以判断曲线的凹凸.如果就是曲线的一个拐点．另外，二阶导数不存在的点对应曲线上的点也有可能为拐点．判定曲线y=f(x)的拐点的一般步骤：(1)确定y=f(x)的定义域.(2)求f(x)，f(x)，令f(x)=0，求出所有可能拐点x0.(3)考察f(x)在每个可能拐点x0左右两侧的符号，如果f(x)的符号相反，则点(x0,f(x0))是拐点，否则就不是．例2求曲线f(x)=x3-6x2+9x+1的凹凸区间与拐点．解(1)定义域为(,).(2)f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

3、-12=6(x-2)，令f(x)=0，得x=2.(3)当x(,2)时，f(x)<0，此区间为凸区间．当x(2,+)时，f(x)>0，此区间是凹区间.例3求曲线f(x)=(2x-1)4+1的凹凸性，并求拐点．解(1)定义域为(,).(2)f(x)=8(2x-1)3,f(x)=48(2x-1)2,令f(x)=0，可得x=1/2.(3)因为当x≠1/2时，f(x)>0，所以该曲线在整个定义区间内都是凹的，曲线没有拐点．要想完整地描绘出函数的图形，除了要知道其升降，凹凸性，极值和拐点等性态外，还须了解曲线无限远离坐标原点时的

4、变化状况，这就是下面要讨论的曲线的渐近线问题．在此，我们仅讨论曲线的水平渐近线和垂直渐近线．二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线引例（如图所示）yxOy=arctanxyx=1xO1(2,0)y=ln(x-1)（如图所示）定义则称直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线.则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线.所以的两条水平渐近线.例如通过利用导数研究函数性态，进而描绘函数的图形的一般步骤：(1)确定函数y=f(x)的定义域，并考察其奇偶性、周期性等；三、函数图形的描绘确定所有可能的极值点和拐点；(4)讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；(5

5、)根据需要补充函数图形上若干特殊点(如与坐标轴的交点等)；(6)描图.（3）列表讨论函数的单调性、极值及函数图形的凹凸性和拐点；解(1)函数定义域为(-,),函数为奇函数，其图形关于原点对称．(2)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),例4描绘函数f(x)=x3–3x的图形.f(x)=6x，令f(x)=0，得x1=-1，x2=1,令f(x)=0，得x=0.（3）列表讨论如下：xf(x)f(x)(,1)+-0---1(1,0)0-0(0,1)-+10+(1,+)++f(x)极大值f(-1)=2拐点(0,0)极小值

6、f(1)=-2(4)无水平渐近线和垂直渐近线；yxO1-1-综合上述讨论，即可描绘出所给函数的图形：例5描绘函数的图形.解(1)定义域为(-,).该函数为偶函数，其图形关于y轴对称.因此，只要作出(0,)内的图形，即可根据其对称性得到它的全部图形．令f(x)=0,令f(x)=0，得x=0，xf(x)f(x)0f(x)极大值f(0)=10+0（3）列表讨论如下：综合上述讨论，即可绘出所给函数的图形：yOx