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1、一、曲线的凹凸性与拐点第三章 导数的应用第四节 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘二、函数图形的描绘如图所示，凡呈凸形的弧段，当自变量x由x1增大到x2时，其上的切线斜率是递减的(如图(a)左，(b)左)，凡呈凹形的弧段，当x由x1增大到x2时，其上的切线斜率是递增的(如图(a)右，(b)右)，我们将以这个明显的几何特征来规定曲线的凹凸性.x1x3x4x2OyABCDx一、曲线的凹凸性与拐点xyOABDCx1x3x4x2(a)(b)定义1设函数y=f(x)在某区间I内可导，①如果f(x)在I内是递增的，则称曲线y=
2、f(x)在区间I内是凹的，I区间称为凹区间；②如果f(x)在I内是递减的，则称曲线y=f(x)在区间I内是凸的，I区间称为凸区间.定义2设函数y=f(x)在区间I内连续，则y=f(x)在区间I内的凹凸分界点，叫做曲线y=f(x)的拐点.定理1设函数y=f(x)在区间I内的二阶导数f(x)>0，则曲线y=f(x)在区间I内是凹的；若f(x)<0，则在此区间I内曲线y=f(x)是凸的.定理2(拐点的必要条件)且点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f(x0)=0.若函数y=f(x)在x0处二阶导数f(x0
3、)存在，注意f(x0)=0是点(x0，f(x0))为拐点必要条件，而非充分条件.例如y=x4，则y=12x2，当x=0时，y(0)=0，但(0,0)不是曲线y=x4的拐点，因为点(0,0)两侧二阶导数不变号.定理3若f(x0)=0，且在x0两侧f(x)变号，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.例1讨论曲线f(x)=x3-6x2+9x+1的凹凸区间与拐点．解定义域为(,).因为f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x-12=6(x-2)，令f(x)=0，可得x=2.当x(,2)
4、时，f(x)<0，此区间是凸区间．当x(2,+)时，f(x)>0，此区间是凹区间．当x=2时，f(x)=0，因f(x)在x=2的两侧变号，而f(2)=3，所以(2,3)是该曲线的拐点.本题也可以下表给出解答：x(,2)2(2,+)f(x)0+f(x)拐点(2,3)其中，分别表示曲线凸和凹.例2讨论曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点.解定义域为(,).因为令y=0得x=-1，x=1.当x(,-1)时，y<0，此区间是凸区间；当x(1,1)时，y>0，此区间是凹区间；当x(
5、1,+)时，y<0，此区间是凸区间.因为f(-1)=f(1)=0，f(x)在点x=-1.x=1的两侧变号，且f(-1)=f(1)=ln2，所以点(-1,ln2)和(1,ln2)为拐点.二、函数图形的描绘1.曲线的水平渐近线和垂直渐近线定义3若曲线y=f(x)上的动点M(x,y)沿着曲线无限远离坐标原点时，它与某直线l的距离趋向于零，则称l为该曲线的渐近线.lM(x,y)y=f(x)yxO(1)垂直渐近线则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线.例如，因为所以直线x=0+即y轴为y=lnx曲线的垂直渐近线.y
6、xOy=lnx对于曲线y=lnx来说，1yxO例如，对于曲线来说，(2)水平渐近线则称直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线.yxO所以直线y=0是曲线的水平渐近线.y=0所以直线都是该曲线的水平渐近线.yxO因为又如，曲线y=arctanx，y=arctanx2.函数图形的描绘描绘函数的图形，其一般步骤是：(1)确定函数的定义域，并讨论其对称性和周期性；(2)讨论函数的单调性，极值点和极值；(3)讨论函数图形的凹凸区间和拐点；(4)讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线；(5)根据需要补充函数图形上若干点(如与坐标轴的交
7、点等等)；(6)描图.解该函数的定义域为(-,)，且为奇函数，求其一、二阶导数，得y=3-3x2和y=-6x，例4描绘函数y=f(x)=3x–x3的图形.得驻点x=1，令y=0，因为y
8、x=-1=6>0，y
9、x=1=-6<0，所以y(-1)=-2为极小值，y(1)=2为极大值；令y=0，得x=0，因为x<0时，y>0，x>0时，y<0，所以x<0时曲线y=f(x)是凹的，当x>0时，曲线y=f(x)是凸的，且(0,0)为拐点.将上述讨论列为下表：xy(x)y(x)(,1)+0+++1(
10、1,0)0+0(0,1)+10(1,+)y极小值f(-1)=-2拐点(0,0)极大值f(1)=2曲线y=3x–x3无水平渐近线和垂直渐近线.综合上述结论，即可描出所给函数的图形.yxO1-1y=3x–x3令y=0，可知曲线y=3x–x3与x轴交在例6描绘函数的图形.解该函数的定义域为(-,
