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《高数下册第7章常微分方程课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、常微分方程第七章---积分问题---微分方程问题推广1微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第七章2引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=f(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.3引例2.以初速度将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律。解:设运动开始时(t=0)质点位于位于x(t),变量x与t的函数关系x=x(t)满足由条件积分得：因此所求运动规律为在时刻t质点4常微分方程偏微分方程含未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。方程中所含未知函数导数的最高阶
2、数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶。Eg:分类或5—使方程成为恒等式的函数。通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.g22-=dtxd引例26例1.验证函数是微分方程的解(k不等于零)。解:略例2.求初值问题的解7可分离变量的一阶微分方程与齐次方程第二节一、可分离变量方程第七章形如：解法：(i)分离变量(ii)两边积分是隐式通解。则8例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积
3、分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)9例2.解法这是可分离变量的方程，改写为分离变量即两边积分，得(C为任意常数)为所求通解。10例3.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时11二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.Eg:令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:12例1.求微分方程的
4、特解注:13可得OMA=OAM=例2.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:14利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)15(h,k为待*三、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),16求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述
5、更一般的方程17一阶线性微分方程第三节一、一阶线性方程*二、伯努利方程第七章18一、一阶线性微分方程形如:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;19对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得20例1-3.求下列方程通解21在闭合回路中,所有支路上的电压降为0。例4.有一电路如图所示,电阻R和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri经过L的电压降为因此有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,22解方程:利用一阶线性方程解的公式可得∼由初始条件:得
6、23暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼24*二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)25例5.求方程的通解.解:令26(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入
7、的研究.27可降阶的高阶微分方程第四节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章28一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程29例1.解:这就是所求的通解。30型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、31例2.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有再积分得由因此所求特解为32三、型的微分方程令故方程化为设其通解
