弹塑性力学课件.ppt

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1、Ⅰ.卡氏第一定理（）例各杆的弹性模量均为E，横截面面积均为A。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。§3－4用能量法解超静定系统7/27/20211(2)解：设1,2,3杆的轴力分别为,和（图b），相应的位移为D1,D2和D3（图c）。由对称性可知，，D1＝D2。由图c可知：结构的应变能为(1)若求出D3，可由（1）求出D1（D2）。再由胡克定律求出轴力。以D3为基本未知量，该题为一次超静定。7/27/20212解得由胡克定律得将（4）式代入（1）得(4)(3)得由，7/27/20213以位移作为基本未知量求解超静定问题的方法，称为位移法。（1）式为变形的几何方程，（3）式为平衡方程。求轴力时又应

2、用了物理方程。故位移法仍然是综合考虑了平衡方程,几何关系和物理方程来求解超静定问题的。7/27/20214解：若以各杆的轴力为未知量，该题为（k-2）次超静定问题。若以A点的水平位移Dx和铅垂位移Dy为未知量，各杆的位移均可用Dx,Dy表示，再由胡克定律求出轴力，该题为二次超静定问题。例图a中k≥3。各杆的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1,A2…，Ak。试用卡氏第一定理求各杆的轴力。7/27/20215第i根杆的长度为（1）由图b可知，第i根杆的伸长量为（2）结构的应变能为（3）7/27/20216由，得（5）联解（4）,（5）可得Dx和Dy。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到

3、第i根杆得轴力（4）7/27/20217Ⅱ.余能定理（）例三杆的材料相同，s=Ke1/n(n>1)，横截面面积均为A，1,2两杆长度为l。用余能定理求各杆的轴力。7/27/20218解：以铰链D的支反力X为多余未知力，基本静定系如图b所示，F,X看作基本静定系上独立的外力，所以Vc=Vc(F,X)（不能含有其它未知力）因为铰链D处沿铅垂方向的位移为零，应有由该式求出X后，再利用平衡方程求各杆的轴力。7/27/20219(1)（轴力均用F和X表示）由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为(2)(3)由得7/27/202110结构的余能为(4)三杆的余能密度分别为7/27/202111（4

4、）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示变形的几何关系。由，得将X值代入（1），得以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。7/27/202112Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理来解超静定问题，仍以多余未知力为基本未知量，以荷载及选定的多余未知力作为基本静定系上独立的外力，应变能只能为荷载及选定的多余未知力的函数，即变形几何关系为，Di为和的相应位移，它是和约束情况有关的已知量。7/27/202113例刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。CABqll(a)7/27/202114解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X为多余未知力，基本静定

5、系如图b所示。由于,但是在中，出现(Ve也将出现)，必须把CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X表示。由，得7/27/202115CB,AB段的弯矩方程及其对X的偏导数分别为，由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql7/27/202116解得（↓）和图示方向相反。（↑）（←）（←）由平衡条件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql7/27/202117例半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。7/27/202118解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1,

6、弯矩X2,剪力X3。该题为三次超静定。(a)但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对称的，但X3是反对称的，故X3＝0，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为F，X1，X2的函数，即7/27/202119与X1，X2相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即(b)弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为(c)7/27/202120注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)(e)将(c)式代入(d)和(e)式，可解得7/27/202121