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1、二、连续与间断一、函数三、极限习题课函数与极限第一章1一、函数1.概念定义:定义域值域图形:(一般为曲线)设函数为特殊的映射:其中22.特性有界性,单调性,奇偶性,周期性3.反函数设函数为单射,反函数为其逆映射4.复合函数给定函数链则复合函数为5.初等函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的一个表达式的函数.3思考与练习1.下列各组函数是否相同?为什么?相同相同相同42.下列各种关系式表示的y是否为x的函数?为什么?不是是不是提示:(2)53.下列函数是否为初等函数?为什么?以上各函数都是初等函数.64.设求及其定义域.5.已知,求6.设求由得
2、4.解:75.已知,求解:6.设求解:8二、连续与间断1.函数连续的等价形式有2.函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点9有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区间上连续函数的性质例1.设函数在x=0连续,则a=,b=.提示:10有无穷间断点及可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例2.设函数试确定常数a及b.11例3.设f(x)定义在区间上,,若f(x)在连续,提示:阅读与练习且对任意实数证明f(x)对一切x都连续.P65题1,3(2);P74题*612证:P74题*6.证明:若令则给定当时,有又根
3、据有界性定理,,使取则在内连续,存在,则必在内有界.13上连续,且恒为正,例4.设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即证明:即14上连续,且acdb,例5.设在必有一点证:使即由介值定理,证明:故即15三、极限1.极限定义的等价形式(以为例)(即为无穷小)有2.极限存在准则及极限运算法则163.无穷小无穷小的性质;无穷小的比较;常用等价无穷小:4.两个重要极限6.判断极限不存在的方法（函数极限与数列极限关系）5.求极限的基本方法(极限运算法则，变形为重要极限）或注:代表相同的表达式17例6.求下列极限：提示:无穷小有界18令19则有复
4、习:若20例7.确定常数a,b,使解:原式可变形为故于是而21例9.当时,是的几阶无穷小?解:设其为x的k阶无穷小,则因故22阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解:x=–1为第一类可去间断点x=1为第二类无穷间断点x=0为第一类跳跃间断点232.求解:原式=1(2000考研)注意此项含绝对值24作业P754(1),(4);5;8;9(2),(3),(6);10;11;12;133.求解:令则利用夹逼准则可知25
