2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数学案苏教版必修4.doc

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1、3．2　二倍角的三角函数　1.了解二倍角公式的推导过程．　2.理解二倍角公式的意义及变形形式．3．掌握二倍角公式进行化简、求值及证明．1．倍角(二倍角)公式(1)二倍角的正弦公式S2α：sin2α＝2sinαcosα．(2)二倍角的余弦公式C2α：cos2α＝cos2α－sin2α．(3)二倍角的正切公式T2α：tan2α＝．2．倍角公式常用的几个变形S2α：sin2α＝(sinα＋cosα)2－1＝1－(sinα－cosα)2．C2α：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.1．判断(正确的打“√”，

2、错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．(　　)(3)对于任意的角α，cos2α＝2cosα都不成立．(　　)解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．(2)正确．当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα.(3)错误．当cosα＝时，cos2α＝2cosα.答案：(1)×　(2)√　(3)×2．已知sinα＝，cosα＝

3、，则sin2α等于(　　)A．B．　C．D．答案：D3．计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)A．B．14C．D．答案：B4.＝________．解析：＝tan(2×150°)＝tan300°＝－tan60°＝－.答案：－　二倍角公式的应用　求下列各式的值：(1)sincos；(2)1－2sin2750°；(3)－；(4)cos20°cos40°cos80°.【解】　(1)原式＝＝＝.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝.(3)原式＝＝＝＝

4、＝4.(4)原式＝＝＝＝＝.注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，14创造条件利用二倍角公式，使问题得解．　　1.求下列各式的值．(1)cos36°·cos72°；(2)sin6°·sin42°·cos24°·cos12°.解：(1)原式＝＝＝＝＝＝.(2)原式＝sin6°·cos48°·cos24°·cos12°＝＝＝＝＝＝＝.　给值求值问题　已知α∈，sinα＝，则sin2α＝________，cos2α＝________，tan2α＝________．【解】　因为α∈，sinα＝，

5、所以cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，14tan2α＝＝－.答案：－　　－若把本例中的条件“sinα＝”改为“sinα＋cosα＝”，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝，即1＋2sinαcosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝－.因为α∈，所以cosα＜0，所以sinα－cosα＞0，所以sinα－cosα＝＝＝，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋s

6、inα)(cosα－sinα)＝×＝－，所以tan2α＝＝.(1)三角函数求值问题常有两种方法一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin2x＝cos＝cos＝2cos2－1＝1－2sin2；②cos2x＝sin＝sin14＝2sincos.　　2.已知sinsin＝，且α∈，求tan4α的值．解：因为sin＝sin＝cos，则已知条件可化为sinco

7、s＝，即sin＝，所以sin＝，所以cos2α＝.因为α∈，所以2α∈(π，2π)，从而sin2α＝－＝－，所以tan2α＝＝－2，故tan4α＝＝－＝.　二倍角公式的综合应用　(1)化简：sin2＋sin2－sin2α.(2)求证：＝tanθ.【解】　(1)由倍角公式cos2α＝1－2sin2α，得sin2α＝.于是，原式＝＋－＝14－＝－＝.(2)证明：左边＝＝＝＝tanθ＝右边，所以原式成立．(1)三角函数式化简的基本原则是化到最简，一般来说，在最后的结果中函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽

8、量不含根式、尽量不含绝对值等．余弦的二倍角公式能起到升幂作用，即1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，正弦的二倍角公式也能起到升幂的作用，即1±sin2α＝(sinα±cosα)2.(2)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②证左边、右边都等于同一个中间结果；③比较法(作差、作商法)．常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算