2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数讲义苏教版必修4

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1、3.2　二倍角的三角函数学习目标核心素养(教师独具)1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算、逻辑推理核心素养.倍角公式(1)sin2α＝2sin_αcos_α；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝.思考1：T2α对任意角α都成立吗？[提示]　不是．所含各角要使正切函数有意义．思考2：倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？[提示]　倍角公

2、式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．1．若sinα＝，则cos2α＝________.　[∵cos2α＝1－2sin2α，sinα＝，∴cos2α＝1－2×＝.]2．若tanα＝3，则tan2α＝________.－　[∵tanα＝3，∴tan2α＝＝＝－.]3．若sin2α＝－sinα，且sinα≠0，则cosα＝________.－　[∵sin2α＝2sinαcosα，∴2sinαcosα＝－sinα，又sinα≠0，∴cos

3、α＝－.]直接应用二倍角公式求值【例1】　已知sin2α＝，＜α＜，求sin4α，cos4α，tan4α的值．思路点拨：先由α的范围求2α的范围，并求出cos2α的值，进而求出sin4α，cos4α及tan4α的值．[解]　由＜α＜，得＜2α＜π.又因为sin2α＝，所以cos2α＝－＝－＝－.于是sin4α＝2sin2αcos2α＝2××＝－；cos4α＝1－2sin22α＝1－2×2＝；tan4α＝＝＝－.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角

4、；是1．求下列各式的值．(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；(3)2cos2－1；(4).[解]　(1)∵sin＝sin＝cos，∴sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝.(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos30°＝.(3)2cos2－1＝cos＝－.(4)＝×＝tan60°＝.逆用二倍角公式化简求值【例2】　化简：.思路点拨：→→[解]　原式＝＝＝＝＝1.1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函

5、数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．2．求下列各式的值：(1)2sincos；(2)1－2sin2750°；(3)；(4)coscos.[解]　(1)原式＝sin＝sin＝.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝cos60°＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan

6、300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－.(4)原式＝coscos＝cossin＝＝sin＝×＝.活用“倍角”关系巧解题[探究问题]1．已知cos的值，如何求sin2x的值？提示：可利用sin2x＝cos＝2cos2－x－1求解．2．当题设条件中含有“±x”及“2x”这样的角时，如何快速解题？提示：可借助角的互余关系及诱导公式，实现倍角关系的转换．【例3】　已知sin＝，0＜x＜，求的值．思路点拨：先由sin求cos，再求sin即可．[解]　∵＋＝，∴sin＝cos＝，又0＜x＜，∴＜x＋＜，∴sin＝.∴＝＝＝2sin＝.1．

7、(变结论)本例条件不变，求cos2x.[解]　∵0

8、角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.教师独具1．本节课的重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式，难点是公式的应用．2．要掌握二倍角公式的三个应用(1