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时间:2020-07-05
《实变函数第四章复习题及解答(1).doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章复习题(一)一、判断题1、设是可测集上的非负简单函数,则一定存在。(√)2、设是可测集上的非负简单函数,则在上勒贝格可积。(×)3、设是可测集上的非负简单函数,且,则在上勒贝格可积。(√)4、设是可测集上的非负可测函数,则一定存在。(√)5、设是可测集上的非负可测函数,则在上勒贝格可积。(×)6、设是可测集上的非负简单函数,且,则在上勒贝格可积。(√)7、设是可测集上的可测函数,则一定存在。(×)8、设是可测集上的可测函数,且,至少有一个成立,则一定存在。(√)9、设是可测集上的可测函数,且,至少有一个成立,则在上
2、勒贝格可积。(×)10、设是可测集上的可测函数,若且,则在上勒贝格可积。(√)11、设是可测集上的可测函数,若,则。(√)12、设是可测集上的可测函数,若且,则。(√)13、若为零测集,为上的任何实函数,则。(√)14、若,则。(√)15、若,则。(√)16、若,则。(√)17、若,为的可测子集,则。(√)18、在上勒贝格积分值存在。(×)19、若,且,,则于。(√)20、若在上可积,则若在上可积,且。(√)21、若,,且于,则。(√)22、若,,则于。(×)23、若,则于。(×)24、若与存在,且,则。(√)25、若存
3、在,是的可测子集,且,则。(×)26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。(×)二、计算题1、设,求。解:因为有理数集为零测集,所以,于,于是。2、设,其中为中的三分康托集,求。解:因为,所以,于,于是。三、证明题1、设是可测集上的可测函数,且,,则。证明:由题设及不等式性,有。所以,,从而。2、,。则,且。证明:因为,而由,得,,即。所以,。3、设,是的可测子集,且,若,则。证明:因为是的可测子集,且,所以,,从而由得,。又,由积分的绝对连续性,。4、设,若对任意有界可测函数都有,则于。证明:由题设,取,显然为上的有界可
4、测函数,从而。所以,于,即于。5、设,,证明(1);(2)。证明:由得,(1)。(2)由(1),注意到,由积分的绝对连续性得,,从而注意到,所以,。
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