实变函数习题答案 北大版 周民强.pdf

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1、实变函数习题答案06级数科院本科2007-2008第二学期习习习题题题1第第第一一一组组组1.设ff(x)g是定义在Rn上的函数列,试用点集fx:f(x)¸1g(j;k=1;2;¢¢¢)表示jjk点集fx:limfj(x)>0g.j!1S1T1S1证:fx:limf(x)>0g=fx:f(x)¸1gjjkj!1k=1N=1j=N事实上,设x2fx:limf(x)>0g,则存在k,使limf(x)¸1,再由数列上极限的定0j0j0k0j!1j!1T1S1义,对于任何正整数N,存在n¸N,使f(x)¸1,因此x2fx:f(x)¸1

2、g,NnN0k00jk0N=1j=NS1T1S1从而x2fx:f(x)¸1g;0jkk=1N=1j=NS1T1S1T1S1相反,若x2fx:f(x)¸1g,则存在k2N,使x2fx:f(x)¸0jk00jk=1N=1j=NN=1j=N1g,因此对任何正整数N,都存在j¸N,使x2fx:f(x)¸1g,即f(x)¸1,所k00jk0j0k0以limf(x)¸1>0,即x2fx:limf(x)>0g.j0k00jj!1j!12.设ffn(x)g是定义在[a;b]上的函数列,E½[a;b]且有limfn(x)=Â[a;b]nE(x)

3、;x2n!1[a;b]:若令E=fx2[a;b]:f(x)¸1g;试求集合limE.nn2nn!1证:limEn=[a;b]nE:n!18x2[a;b]nE;*limf(x)=1;)9N;8n¸N;f(x)¸1;i.e.x2E;)x2nn2nn!1limEn;)[a;b]nE½limEn;反之,若x2[a;b]nE;*limfn(x)=0;)9N;8n¸N;fn(x)

4、³;fBng,试´证明³:´SS(i)lim(AnBn)=limAnlimBn;n!1T³n!1´Tn³!1´(ii)lim(AnBn)=limAnlimBn:n!1n!1n!1证:略.4.设f:X!Y;A½X;B½Y;试问下列等式成立吗?(i)f¡1(YnB)=f¡1(Y)nf¡1(B);(ii)f(XnA)=f(X)nf(A):1T证:(i)成立.(ii)f(A)f(Ac)6=;时等式不成立.5.试作开圆f(x;y):x2+y2<1g与闭圆盘f(x;y):x2+y2·1g之间的一一对应.证一:任取闭圆盘边界上一点R,记圆心

5、为O;(O;R]为连接O与R的线段去掉O,(O;R)为连接O与R的线段去掉O与R,由旋转变换易知(O;R)»(0;1);(O;R]»(0;1];*(0;1)»(0;1];)(O;R)»(O;R];再将O对应到O,就可得到开圆与闭圆盘之间的一一对应.S1S1证二:记A=f(x;y):x2+y2=1g;E=A;E=A,开圆为M,闭圆盘nn21n2nn=1n=2为N;*fAg1»fAg1,且任意两个同心圆对等,)E»E;又*MnE=NnE;)nn=1nn=21221开圆与闭圆盘之间一一对应.6.设f(x)在(a;b)上有界.若f(x

6、)是保号的(即当f(x0)>(<)0时,必有±0>0;使得f(x)>(<)0(x0¡±00,记E+=fx2[0;1]:f(x)>ag;E¡=

7、fx2[0;1]:f(x)<¡ag;则E=aaS1S1Sfx2[0;1]:jf(x)j>1g=(E+E¡);8n,取E+中的p个数x;x;¢¢¢;x,n1=n1=n1=n12pn=1n=1则p¢10;0当jx¡x0j<±时,有f(x)¸f(x0);试证明集合E=fy:y=f(x)g是可数集.证:取y2E,则9x2R1

8、,s.t.f(x)=y;由题意,9±>0,s.t.f(z)¸f(x);z2x(x¡±x;x+±x);取有理数rx;Rx,满足x¡±x