2、1);S∆=mi(xi xi 1):i=1i=1我们考虑Darboux上积分与下积分:∫b∫bf(x)dx=infS∆;f(x)dx=supS∆:a∆∆a如果这两个值相等,则称f(x)在[a;b]上是Riemann可积的.简记为f2R[a;b],记其公共值为∫bf(x)dx;a且称它为f(x)在[a;b]上的Riemann积分.若令j∆j=maxfxi xi 1:i=1;2;;ng,则f(x)在[a;b]上是Riemann可积的充分且必要条件是:∑nlim(Mi mi)(xi xi 1)=0:j∆j!0i=1iii引
3、言Riemann积分在以下几个方面存在缺陷:(1)可积函数的连续性;(2)极限与积分次序交换问题;(3)关于微积分基本定理;(4)可积函数空间的完备性.(1)可积函数的连续性前面指出的Riemann可积函数的充要条件说明可积函数必须是差不多连续的(可以证明必须是几乎处处连续的函数):也就是说振幅(Mi mi)不能缩小的那些相应项的子区间的长度的总和可以很小.(2)极限与积分次序交换问题在一般的微积分教科书中,都是用函数列一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算的次序可以交换,这一要求过分强了.例1设f(x)=xn(0x1
4、).它是点收敛而不是一致收敛于n{0;0x<1;f(x)=1;x=1但仍有∫1∫1∫1limfn(x)dx=0=f(x)dx=limfn(x)dx:n!1n!000在Riemann积分意义下,存在下述有界收敛定理(其中一个证明参考Amer.Math.Monthly,78,1986)定理0.0.1(有界收敛定理)设(i)fn(x)(n=1;2;)是定义在[a;b]上的可积函数;(ii)jfn(x)jM(n=1;2;;x2[a;b]);(iii)f(x)是定义在[a;b]上的可积函数,且有limfn(x)=f(
5、x);x2[a;b];n!1则∫b∫blimfn(x)dx=f(x)dx:n!1aa下面这个例子表明:即使函数列是渐升的也不能保证其极限函数的可积性.例2设rn是[0;1]中前提有理数列,作函数列{1;x=r1;r2;;rn;fn(x)=(n=1;2;)0;其他iii显然有f1(x)f2(x)fn(x)fn+1(x)1,且有{1;x为有理数;limfn(x)=f(x)=n!10;x为无理数:这里得到的f(x)不是Riemann可积的.命题0.0.1若有定义在[a;b]上的可积函数列fn(
6、x),gn(x),而且满足jfn(x)jM,jgn(x)jM,n=1;2;,x2[a;b],以及limfn(x)=f(x);limgn(x)=f(x);x2[a;b];n!1n!1则必有∫b∫blimfn(x)dx=limgn(x)dx:n!1n!1aa但f(x)之积分仍然可以不存在,上述结论说明,上述积分之极限值并不依赖于fn(x)本身,而依赖于f(x).既然如此,就不妨定义其积分为∫b∫bf(x)dx=limfn(x)dx:n!1aa这说明Riemann积分的定义太窄了.(3)关于微积分基本定理积分和微分之间
7、的联系乃是微积分学的中枢:设f(x)在[a;b]上是可微函数且f′(x)在[a;b]上是可积的,则有∫x′f(t)dt=f(x) f(a);x2[a;b]:a也就是说f′(x)通过积分又获得了f(x).这里面要求f′(x)必须是可积的.然而早在1881年,V.Volterra就做出了一个可微函数,其导函数还是有界的,但导函数不是Riemann可积的.这就大大限制了微积分基本定理的使用范围.命题0.0.2f′2R([a;b])的充分必要条件是,存在r2R([a;b]),使得∫xf(x)=f(a)+g(t)dt:a如果f′2R
8、([a;b]),使用基本定理可知上述等式成立,反过来,首先需要证明f可微,然后证明f′2R([a;b]).(4)可积函数空间的完备性iv引言在积分理论中,可积函数类用距离∫bd(f;g)=jf(x) g(x)jdxa或∫b21/2d(f;g)=fjf(x) g(x)jdxga作成距离空间是完备的这一事实
