高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案 新人教B版选修.doc

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1、2.3.2　双曲线的几何性质1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[基础·初探]教材整理　双曲线的几何性质阅读教材P52～P54“例1”内容，完成下列问题.标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围________________________对称性对称轴：________，对称中心：________顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝________，虚轴长＝________离心率____________渐近线y＝±x____________【答案】　x≥a或x≤－a　y≤－a或y≥a　

2、坐标轴　原点　2a　2b　e＝且e>1　y＝±x1．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．【解析】　由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，∴m＝3，求得双曲线方程为－＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．【答案】　(－，0)，(，0)2．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________.【导学号：】【解析】　椭圆的焦点为(±1,0)，∴双曲线的焦点为(±1,0)，椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝，又c2－a2＝b2，∴1＝2a2，a2＝b2＝，所求双曲线方程为2x2

3、－2y2＝1.【答案】　2x2－2y2＝1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：

4、________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]根据双曲线方程研究几何性质　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【精彩点拨】　化为标准方程形式→求出a，b，c→得双曲线的几何性质【自主解答】　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标

5、为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝.顶点坐标为(－，0)，(，0)．∴渐近线的方程为y＝±x＝±x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1．把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．2．由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．3．由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．[再练一题]1．将本“例1”双曲线方程改为“16x2－9y2＝－144”，试求实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】　方程变形为－＝1，∴a＝4，b＝3，c＝5，∴实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点为(0,5)，(0，－5)，渐近线方程为y＝±x，顶点为(0,4)，(0，－4)，离

6、心率e＝.求双曲线的标准方程　求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．【精彩点拨】　分析双曲线的几何性质→求a，b，c→确定(讨论)焦点位置→求双曲线的标准方程【自主解答】　(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，因为＝，所以a＝5，b＝＝12.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一　因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.②联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为

7、－＝1(a>0，b>0)，则＝.③因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④联立③④，解得a2＝8，b2＝32.故所求双曲线的标准方程为－＝1.法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.故所求双曲线的标准方程为－＝1.1．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点