2020_2021学年高中数学第三章不等式3基本不等式第2课时基本不等式与最大小值学案含解析北师大版必修.doc

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1、第2课时　基本不等式与最大(小)值Q下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你能用这个图来解释一下基本不等式≥吗？X1．两个常用命题x、y都为正数时，下面的命题成立．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.2．基本不等式的变形公式(1)ab≤；(2)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；(3)()2≥－1(b≠0)；(4)ab≤()2；(5)a＋≥2(a∈R＋)．3．不等式≥ab和≥的区

2、别与联系(1)≥ab与≥成立的条件不同．前者中的a、b为任意实数，后者中的a、b只能取非负实数.-10-(2)两个不等式都是当且仅当a＝b时取到等号，这一点在求最值时经常用到．Y1．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是(　D　)A．y＝x＋B．y＝lgx＋C．y＝＋D．y＝x2－2x＋3[解析]　x取正数时，A选项中y≥4，B选项中y可为负值，C选项中>1，则y>2，只有D选项通过配方易得y≥2.2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　C　)A．1＋　　　　　　　B．1＋C．3　D．4[解析]　该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题．f(x

3、)＝x＋(x>2)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4.当且仅当x－2＝即(x－2)2＝1，∵x>2，∴x－2>0，∴x－2＝1，即a＝3.3．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝(log0.5a5＋log0.5a7)，Q＝log0.5，则P与Q的大小关系是(　D　)A．P≥Q　B．PQ[解析]　P＝(log0.5a5＋log0.5a7)＝log0.5(a5a7)＝log0.5a6，Q＝log0.5Q.-10-4．若x>0，则3＋3x＋的最小值为9.[解析]　∵x>0，∴3＋3x＋≥3＋2＝3＋2×3＝9.当且仅当

4、x＝1时，取等号．5．设x，y∈R，且x＋y＝3，则2x＋2y的最小值为4.[解析]　∵x＋y＝3，∴y＝3－x，∴2x＋2y＝2x＋23－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝，即2x＝2，∴x＝，y＝时，等号成立．别解：2x＋2y≥2＝2＝2＝4(当且仅当x＝y＝时取等号)H命题方向1　⇨利用基本不等式求最值　　例题1　求函数y＝的最小值．[分析]　若把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可构造成能利用基本不等式的形式．[解析]　令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1，∴y＝＝＝＝t＋＋1.∵t≥1，∴t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立．∴当x＝0时，函数取得最小值3.

5、-10-『规律总结』　把已知函数解析式通过通分、配方、拆项等操作便可转化成能利用基本不等式的形式．〔跟踪练习1〕当x>0时，求f(x)＝的值域．[解析]　∵x>0，∴f(x)＝＝.∵x＋≥2，∴0<≤.∴00，b>0，且a＋b＝1，∴(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝

6、5＋2(＋)≥5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”．∴(1＋)(1＋)≥9.解法2：(1＋)(1＋)＝1＋＋＋＝1＋＋∵a＋b＝1，∴(1＋)(1＋)＝1＋又∵a>0，b>0，∴ab≤()2＝，∴≥4，当且仅当a＝b＝时取“＝”，∴(1＋)(1＋)≥1＋2×4＝9.-10-『规律总结』　(1)利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到．〔跟踪练习2〕已知a、b、c为正数，求证：＋＋≥3.[证明]　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝(＋)＋(

7、＋)＋(＋)－3.∵a，b，c为正数，∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”号)；＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”号)；＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”号)．从而(＋)＋(＋)＋(＋)≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．∴(＋)＋(＋)＋(＋)－3≥3.即＋＋≥3.命题方向2　⇨不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法例题3　已知a、b、c是正实数求证：＋＋≥a＋b＋c.[分析]　由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试