2020_2021学年高中数学第三章不等式3基本不等式第2课时基本不等式与最大（小）值练习北师大版必修5.doc

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1、基本不等式与最大（小）值A级　基础巩固一、选择题1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　C　)A．ab≤　　　　　　　B．ab≥C．a2＋b2≥2　D．a2＋b2≤2[解析]　由a＋b＝2，得ab≤()2＝1，排除A、B；又≥()2，∴a2＋b2≥2.故选C．2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　A　)A．有最大值　B．有最小值C．是增函数　D．是减函数[解析]　令2x＝，由x<0得x＝－，∴在x＝－两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C、D．f(x)＝2x＋－1＝－－1≤－2－1＝－2－1

2、，等号在x＝－时成立，排除B．3．已知a、b是正数，则、和的大小顺序是(　D　)A．≥≥　B．≥≥C．≥≥　D．≥≥[解析]　a、b是正数，显然有≥(当且仅当a＝b时，取等号)；再比较与，7∵()2－＝－＝－()2≤0，∴≤，故选D．4．(2019·云南师大附中高三月考)已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于(　C　)A．2　B．4C．2　D．2[解析]　当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C．5．用

3、长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　A　)A．3米　B．4米C．6米　D．12米[解析]　解法一：设隔墙的长度为xm，则矩形的宽为xm，长为＝(12－2x)m，矩形的面积为S＝(12－2x)x＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S取最大值，故选A．解法二：(接解法一)S＝(12－2x)·x＝2(6－x)·x≤2·2＝18，当且仅当6－x＝x即x＝3时取“＝”．故选A．6．已知直线l1：a2x＋y＋2＝0与直线l2：bx－(a2＋1)y－1＝

4、0互相垂直，则

5、ab

6、的最小值为(　C　)A．5　　　　　　　　　　B．4C．2　D．1[解析]　由条件知，直线l1与l2的斜率存在，且l1⊥l2，k1＝－a2，k2＝，∴k1k2＝＝－1，∴b＝>0，∴

7、ab

8、＝

9、

10、＝

11、a

12、＋≥2，等号成立时

13、a

14、＝，∴a＝±1，b＝2，7∴

15、ab

16、的最小值为2.二、填空题7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为18.[解析]　本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值．∵log2a＋log2b≥1∴log2(ab)≥1

17、，ab≥2.∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2＝18.(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)8．若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为－1.[解析]　∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．∴f(x)的最大值为－1.三、解答题9．已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.[证明]　∵a＋b＋c＝1，代入不等

18、式的左端，∴(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝(＋)(＋)(＋)＝＋＋＋＋＋＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋2.∵a、b、c∈(0，＋∞)，∴＋≥2，7＋≥2，＋≥2，∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6，∴(－1)(－1)(－1)≥8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．10．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值．[解析]　∵a2＋＝1，∴a2＋＝，a＝·a·≤·＝·＝.∴当a2＋＝1且a＝，即a＝，b＝时，a的最大值为.B级　素养提升一、选择题1．已知函数f(x)＝

19、lgx

20、，若a≠b，且f(a)

21、＝f(b)，则a＋b的取值范围是(　C　)A．(1，＋∞)　B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)　D．[2，＋∞)[解析]　由条件得

22、lga

23、＝

24、lgb

25、，∴lga＝lgb或lga＝－lgb，∵a≠b，∴lga＝lgb不成立．∴只有lga＝－lgb.即lga＋lgb＝0，∴ab＝1，b＝.又a>0，∴a＋b＝a＋>2，故选C．2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　D　)A．[0,2]　B．[－2,0]C．[－2，＋∞)　D．(－∞，－2]7[解析]　因为2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2＝2，故≤，即

26、2x＋y≤＝2－2.所以x＋y≤－2，故选D．3．下列命题中正确的是(　D　)A．函数y＝x＋的最小值为2B．函数y＝的最小值为2C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4[解析]　对于A，当x<0时，不成立；对于B，若设＝2，则无实数解；对于C、D，y＝2－3x－≤2－4(x>0)，当且仅当3x＝时，等号成立，故选D