（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 圆锥曲线的综合应用随堂检测（含解析）.doc

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1、（江苏专用）2013年高考数学总复习第八章第8课时圆锥曲线的综合应用随堂检测（含解析）1．抛物线y2＝4x上的点到直线l：x＋y＋2＝0的距离最小，求P点坐标．解：设P(x0，y0)则y＝4x0，P到l的距离d＝＝＝.∴当y0＝－2时，d取最小值，此时x0＝＝1，故P点坐标为P(1，－2)．2．若点P(x，y)是椭圆＋＝1上的动点，求x＋y的最大值．解：由已知2＋2＝1，可设x＝5cosα，y＝4sinα，其中α∈[0,2π)，∴x＋y＝5cosα＋4sinα＝sin(α＋φ)，其中tanφ＝.∴x＋y的最大值为.3．若直线y＝kx交椭圆＋y2＝1于A、B两点，

2、且AB≥，求k取值范围．解：由得x2＝.不妨设由两点间距离公式得AB2＝≥10，解得k2≤.∴－≤k≤.4．在双曲线－＝－1的上支上有三点A(x1，y1)、B(x2,4)、C(x3，y3)．它们与点F(0,3)的距离成等差数列．(1)求：y1＋y3的值；(2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．解：(1)∵c＝＝3.∴F(0,3)为双曲线的上焦点，设上准线为l1，分别过A、B、C作x轴的垂线．它们分别与x轴交于A1、B1、C1，与l1交于A2、B2、C2，令e为离心率，则有e

3、AA2

4、＝

5、AF

6、、e

7、BB2

8、＝

9、BF

10、、e

11、CC2

12、＝

13、CF

14、.

15、于是有2e

16、BB2

17、＝2

18、BF

19、＝

20、AF

21、＋

22、CF

23、＝e

24、AA2

25、＋e

26、CC2

27、，即2

28、BB2

29、＝

30、AA2

31、＋

32、CC2

33、.从而2

34、BB1

35、＝2

36、B1B2

37、＋2

38、BB2

39、＝

40、A1A2

41、＋

42、C1C2

43、＋

44、AA2

45、＋

46、CC2

47、＝y1＋y3，即y1＋y3＝2y2＝8.(2)AC的中垂线方程为y－(y1＋y3)＝－，即y－4＝－x＋.①7由于A、C均在双曲线上，所以有－＝－1，－＝－1，两式相减得(x－x)＝(y－y)，从而有＝(y1＋y3)＝·8＝10.代入①得y－4＝－x＋5，易见此直线过定点D(0,9)．[A级　双基巩固]1.椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点

48、分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且

49、

50、·

51、

52、的最大值的取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝.求椭圆离心率的取值范围．解：

53、

54、·

55、

56、≤2＝a2，则2c2≤a2≤3c2,2e2≤1≤3e2，∴≤e≤.∴椭圆M离心率的取值范围是.2．已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，求长半轴长的最小值．解：法一：∵a＋b＋c＝4，∴b＋c＝4－a.又b2＋c2＝a2，∴b2＋c2≥⇒a2≥，解得a≥4(－1)．法二：由a2＝b2＋c2，设b＝acosθ，c＝asinθ，则a(cosθ＋sinθ＋1)＝4，a＝≥＝4(－1)．∴此椭圆长半轴长的最小值为4(－1)．3.7如图所示

57、，曲线G的方程为y2＝2x(y≥0)．以原点为圆心，以t(t>0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.(1)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；(2)设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值．解：(1)由题意知，A(a，)．因为

58、OA

59、＝t，所以a2＋2a＝t2.由于t>0，故有t＝，①由点B(0，t)，C(c,0)的坐标知，直线BC的方程为＋＝1.又因点A在直线BC上，故有＋＝1，将①代入上式，得＋＝1解得c＝a＋2＋.(2)因为D(a＋2，)，所以直线CD的斜率为kCD＝＝＝＝－1.所以直线

60、CD的斜率为定值．4.如图：A、B是定抛物线y2＝2px(p>0是定值)的两个定点，O是坐标原点且·＝0.求证直线AB必过定点，并求出这个定点．解：显然OA，OB必有斜率且斜率均不为零．设OA的斜率为k，则OA：y＝kx.当k≠±1时，由得A，同理B(2pk2，－2pk)．7∴kAB＝＝.AB的方程为：y＋2pk＝(x－2pk2)，整理得：－yk2＋(2p－x)k＋y＝0.(*)令即则(*)对于一切实数k均成立，故直线AB过定点(2p,0)．当k＝±1时，AB⊥x轴，其方程为x＝2p.它也经过点(2p,0)，故直线AB必过定点(2p,0)．5．在平面直角坐标系x

61、Oy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心坐标为(m，n)(m<0，n>0)，则该圆的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝8已知该圆与直线y＝x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则＝2，即

62、m－n

63、＝4.①又圆与直线切于原点，将点(0,0)代入得m2＋n2＝8.②联立方程①和②组成方程组解得故圆的方程为(x

64、＋2)2＋(y－2)2＝