2013届高三数学第一轮复习《圆的方程》讲义.doc

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1、圆的方程自主梳理1．圆的定义在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆．2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______．3．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中___(a，b)_____为圆心，__r__为半径．4．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若化为标准式，即为2＋2＝．由于r2相当于．所以①当D2＋E2－4F>0时，圆心为，半径r＝．②当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点．③当D2＋E2－4F<0时，这样的圆不存在．5．确定圆的方程的方法和步骤（1）确定圆的方程必须有三个独立条

2、件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r或D、E、F的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．（2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2；(2)点在圆外：(x0－a

3、)2＋(y0－b)2_>___r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2___<_r2.自我检测1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x2＋(y－2)2＝12．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为___1_____．3．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝04．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的取值范围是_______(，－1)∪(，)____．5．过圆x2＋y2＝4

4、外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则△APB的外接圆方程为____(x－2)2＋(y－1)2＝5____．6．已知圆的方程为10.设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且.则四边形ABCD的面积最大值为（）A．20　　　B．30　　　　C．49　　　D．507．已知两定点A(-2,0)，B(1,0)，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A.B.8C.4D.98．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．B．C．D．题型一　求圆的方程例1根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)

5、圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．(3)求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．　解题导引　(1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径．(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式．解　(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y＝

6、0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由

7、x1－x2

8、＝6有D2－4F＝36，④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，根据已知条件得解得10因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.（3）解　方法一　设圆心为C，所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋E

9、y＋F＝0，则圆心C.∴kCB＝.由kCB·kl＝－1，∴·＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，②又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③解①②③，可得D＝－11，E＝3，F＝－30.∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.方法二　设圆的圆心为C，则CB⊥l，从而可得CB所在直线的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.①由A(－2，－4)，B(8,6)，得