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1、初中数学等腰三角形及直角三角形有关定理的证明与运用一.定理及其证明二.定理的运用.三.思考题.一.定理及其证明(一)关于等腰三角形1.定义:有两边相等的三角形叫等腰三角形.2.判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形.ABC即:在△ABC中,若∠B=∠C,则AB=AC.在同一个三角形中，等角对等边.D3.性质:(1).等腰三角形的两底角相等(等边对等角)(2).等腰三角形顶角的平分线,底边上的高,底边的中线,三线合一.(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形(二)关于直角三角形.1.勾股定理:在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平和.如图;在Rt△AB
2、C中,∠C=90°.则证明(法一):(古希腊数学家毕达哥拉斯证法)以三角形两直角边的和a+b为边作正方形DEFH.在四条边上分别截取:EQ=FR=HM=DP=a连结PQ,QR,RM,MP,可证所得四个三角形全等,所以四边形PQRM为正方形.S大正=4S△+S小正证法(二):(中国古代数学家赵爽的证法)以直角三角形的斜边为边作正方形,向里作四个与原直角三角形全等的三角形(略)证法(三):(美国第20任总统伽菲尔德的证法)2.(角的关系)直角三角形两锐角余.如图:以c为直角边作等腰直角三角形DEF,分别以DF,DE为斜边作两个与原三角形全等的直角三角形NDF和ME
3、D,首先可证N,D,M三点共线.再利用面积可证勾股定理.3.(边角关系),直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半.ABC在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠B=30°,则AC=ABD30°30°证明:(讲解略写)4.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.证明:(两种证法:讲解略写)EF二.运用:例1.如图,在△ABC中,∠C=90°D,E是AB边上两点,且AE=AC,BD=BC,则∠DCE等于(A).30°(B).45°(C).60°(D).与∠A,∠B的度数有关解:∵AE=AC∴12同理:注:通过此题熟练等腰三角形三个角之间的关系.例2:已知等腰直角三
4、角形ABC中,AB=AC=1,将三角形沿斜边上的高AD对折,得三角形ADC,再沿斜边上的高DE对折,….依次进行,则对折四次后的三角形直角边长等于解:∵对折后的三角形与原三角形都是等腰直角三角形,∴它们都是相似三角形,∵对折后的三角形的面积总是前一次面积的一半,∴对折四次后三角形的面积是原面积的∵相似三角形的面积比等于相似比的平方,∴第四次后的等腰直角三角形的直角边为注:相似三角形的面积比等于相似比的平方例3.如图在△ABC中,AB=5,AC=6BC=7,求△ABC的面积.567x7-x解:过A作AD⊥BC于D,设BD=x,则DC=7-x注:一般三角形边的计算
5、问题通过作高转化为直角三角形问题.例4.如图已知四边形ABCD中，∠A=120°∠ABC=90°,AD=3,BC=3,BD=7,求:AB,CD的长解:过D作BA的垂线交BA的延长线于E,∵∠DAB=120°∴∠1=60°,∠2=30°E12过D作DF⊥BC于FF注:将求线段的问题转化为解直角三角形问题例5.如图,矩形ABCD中，折叠AD边，使点D落在BC边上的F点处，若这痕AE=cm,且,求矩形ABCD的周长.3k4k5k5k8k6k10k解:由已知设EC=3k,FC=4k,则:EF=5k,AB=DC=8k∵∠AFE=∠D=90°∴∠1+∠2=90°123∵∠
6、1+∠3=90°∴∠2=∠3,而∠B=∠C=90°∴△ECF∽△FBA注:折叠得全等例6.如图,梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,∠DBC=45°,翻折梯形使点B与点D重合，折痕交AB于F,交BC于E,若AD=2,BC=8,试求BE,EF的长.G解:连结AC,由等腰梯形ABCD得:AC=BD,过D作DG∥AC交BC的延长线于G.则得:平行四边形ADGC,∴DG=AC=BD,CG=AD∵∠DBG=45°∴∠BDG=90°.∵EF垂直平分BD∴FE∥DG,且FE平分BD,∴BE=EG,(口述求FE)注:梯形问题通过平移对角线或腰将其转化为三角形问题例7.在△
7、ABC中，AB>AC,求证:∠C>∠B.ABCD12证明:∵AB>AC∴在AB线段上截取AD=AC连结DC,则∠1=∠2∵∠ACB>∠1=∠2>∠ABC∴∠ACB>∠ABC证法(二):(讲解略写)E注:角的不等问题一般要用三角形的外角性质.边的不等问题要用三角形任意两边之和大于第三边.例8.在△ABC中，D是BC的中点ED⊥DF分别交AB,AC于E,F.连结EF.(1)试探究并证明线段EF与BE+FC的长度关系.(2)若△ABC满足AB=AC,∠BAC=90°其它条件不变,则EF与BE,FC又有什么关系?HH(1)猜想:BE+FC>EF证明:延长FD到点H,使
8、DH=DF连结BH,又∵BD=DC,∠
