函数的凹凸性与函数的作图.ppt

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1、4.4函数的凹凸性与函数的作图4.4.1曲线的凹凸性与拐点4.4.2曲线的渐近线4.4.3函数的作图问题:如何研究曲线的弯曲方向?问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?定义4.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的(上凹简称凹,下凹简称凸)．4.4.1曲线的凹凸性与拐点曲线凹凸的判定:定理3.10设函数在区间内存在二阶导数，(2)若　　　　时，恒有　　　　，则曲线　　　　在　　　内下凹(简称凸的)．(1)若　

2、　　　时，恒有　　　　，则曲线在　　　内上凹(简称凹的)；例证明函数的图像是处处下凹(凹)的故曲线在整个定义域内是下凹(凸)的解定义4.3曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.求拐点的一般步骤：②令　　　　，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；①求函数的二阶导数　　　；③对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的　　　的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．例1求曲线　　　　　　　的凹凸区间与拐点.解，令　　　，解得　　　，　　．拐点拐点曲线在　　　及　　　两个区间上凹，在　　区间下凹，　　和　　是它的两个

3、拐点.例2求曲线　　　　　　　的凹凸区间与拐点.解，　　　　　　；令　　　，解得　　　；只要　　　，恒有　　　，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线没有拐点，它在整个　　　　是上凹的．例3求曲线　　　　　　　的凹凸区间与拐点.解，　　　　　　　；在　　　　内恒不为零，但　　　时，不存在．在4的左侧邻近时，　　　；在4的右侧邻近时，　　　.即　在　　两侧异号，所以　　是曲线的拐点.练习求下列曲线的拐点，并讨论其凹凸性.2解凹的凸的凹的拐点拐点3解定义4.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的

4、渐近线.设曲线　　　　，如果　　　　　　,则称直线为曲线　　　　的水平渐近线.4.4.2曲线的渐近线1.水平渐近线如果曲线　　　　在点　间断，且，则称直线　　　为曲线的铅垂渐近线．例4求曲线　　　　的水平渐近线和铅垂渐近线.2.铅垂渐近线解因为　　　　　，所以　　　是曲线的水平渐近线．又因为5是　　　　的间断点,且，所以　　是曲线的铅垂渐近线．例5求曲线　　　　　的水平渐近线和铅垂渐近线.解因为　　　　　　　　，所以　　是曲线的水平渐近线．又因为1和-1是　　　　　的间断点，且，　　　　　　　，所以和　　　是曲线的铅垂渐近线．4.4.3函

5、数作图描绘函数图象的具体方法如下:1.确定函数的定义域的值域；2.确定曲线关于坐标轴的对称性；3.求出曲线和坐标轴的交点；4.判断函数的单调区间并求出极值；5.确定函数的凹向区间和拐点；6.求出曲线的渐近线；7.列表讨论并描绘函数的图象.例6描绘函数　　　　　的图象．解(1)定义域：.(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性.(3)令　　　，得　　　，　　，表明曲线与轴有两个交点，一个是　　，一个是.(4)　　　　　　　　　　，令　　　，得　　　，　　.，所以　　为极大值点，为极大值.，所以　　　为极小值点，为极小值；(5)令　　　，得　

6、　．在　　　的左侧有　　　，在　　的右侧有　　　，而，所以　　是拐点．(6)无渐近线.(7)将上面的结果列表拐点极小值极大值例7描绘函数　　　　　　　的图象．解(1)定义域：　　　　　　．(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性.表明曲线与　轴交于　　　　和　　　　.(3)令　　　，即　　　　　　　　，，解得(4)，令，得.在　　　左侧有　　　，在　　　右侧有　　　，所以　　　是极小值点，是极小值．(5).令　　　，得　　　.当　从左向右经过-3时，　由负变正，又　　　　　　，所以是曲线的拐点.(6)因为　　　　　　　　　，所以是曲线的水

7、平渐近线.又因为　　是函数的间断点，且，所以　　　是曲线的铅垂渐近线．(7)将上面的结果列表极小值拐点不存在