人教版2020高考数学（理科）一轮复习课时作业：74 不等式的证明_含解析.doc

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1、课时作业74　不等式的证明1．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.(1)求证：a2＋b2＋c2≥；(2)求证：＋＋≥1.证明：(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∵(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，∴3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥.(2)∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，∵a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1.2．(2019·南宁、柳州联考)已知函数f(x)＝

2、x－1

3、.(1)求不等式f(x)≥3－2

4、x

5、

6、的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋

7、x＋3

8、的最小值为m，正数a，b满足a＋b＝m，求证：＋≥4.解：(1)当x≥1时，x－1≥3－2x，解得x≥，∴x≥；当0

9、x≥或x≤－}．(2)证法1：∵g(x)＝

10、x－1

11、＋

12、x＋3

13、≥

14、(x－1)－(x＋3)

15、＝4，∴m＝4，即a＋b＝4.又＋b≥2a，＋a≥2b，∴两式相加得(＋b)＋(＋a)≥2a＋2b，∴＋≥a＋b＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．证法2：∵g(x)＝

16、x－1

17、＋

18、x＋3

19、≥

20、(x－1)－(x＋3)

21、

22、＝4，∴m＝4，即a＋b＝4，由柯西不等式得(＋)(b＋a)≥(a＋b)2，∴＋≥a＋b＝4，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立．3．(2019·贵阳市监测考试)已知不等式

23、2x－3

24、0时，

25、2x－3

26、

27、bc＋ac＝1(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)．∴a2＋b2＋c2的最小值是1.4．(2019·陕西质量检测)已知函数f(x)＝

28、2x－1

29、＋

30、x＋1

31、.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)＝f(x)＋

32、x＋1

33、的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.解：(1)依题意，得f(x)＝∴f(x)≤3⇔或或解得－1≤x≤1，即不等式f(x)≤3的解集为{x

34、－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋

35、x＋1

36、＝

37、2x－1

38、＋

39、2x＋2

40、≥

41、2x－1－2x－2

42、＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M＝[3，＋∞)．t2＋1－3t－＝＝，∵t∈M，∴t－3≥0

43、，t2＋1>0，∴≥0，∴t2＋1≥＋3t.5．(2019·广东中山二模)已知函数f(x)＝x＋1＋

44、3－x

45、，x≥－1.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a＋b≥.解：(1)根据题意，若f(x)≤6，则有或解得－1≤x≤4，故原不等式的解集为{x

46、－1≤x≤4}．(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋

47、3－x

48、＝分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，∴2a＋b＝(2a＋b)＝≥＝，原不等式得证．6．(2019·山西晋中二模)已知函数f(x)＝

49、x＋1

50、.(1)若∃x0∈R，使不

51、等式f(x0－2)－f(x0－3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：abc≥8.解：(1)由已知得f(x－2)－f(x－3)＝

52、x－1

53、－

54、x－2

55、＝则－1≤f(x)≤1，由于∃x0∈R，使不等式

56、x0－1

57、－

58、x0－2

59、≥u成立，所以u≤1，即M＝{u

60、u≤1}．(2)证明：由(1)知t＝1，则(a－1)(b－1)(c－1)＝1，因为a>1，b>1，c>1，所以a－1>0，b－1>0，c－1>0，则a＝(a－1)＋1≥2>0(当且仅当a＝2时等号成立)，b＝(b－1)＋1≥2>0(

61、当且仅当b＝2时等号成立)，c＝(c－1)＋1≥2>0(当且仅当c＝2时等号成立)，则abc≥8＝8(当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立)．