2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：74 不等式的证明 Word版含解析.pdf

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1、课时作业74不等式的证明1．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1.1(1)求证：a2＋b2＋c2≥；3a2b2c2(2)求证：＋＋≥1.bca证明：(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，∵(a＋b＋c)2＝1，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，1∴3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥.3a2b2c2a2b2c2(2)∵＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋(a＋b＋bcabcaa2b2c2c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，bca

2、a2b2c2∵a＋b＋c＝1，∴＋＋≥1.bca2．(2019·南宁、柳州联考)已知函数f(x)＝

3、x－1

4、.(1)求不等式f(x)≥3－2

5、x

6、的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)＋

7、x＋3

8、的最小值为m，正数a，b满足a＋ba2b2＝m，求证：＋≥4.ba解：(1)当x≥1时，x－1≥3－2x，44解得x≥，∴x≥；33当0

9、x≥或x≤－}．33(2)证法1：∵g(x)＝

10、x－1

11、＋

12、x＋3

13、≥

14、(x－1)－(x

15、＋3)

16、＝4，∴m＝4，即a＋b＝4.a2b2又＋b≥2a，＋a≥2b，baa2b2∴两式相加得(＋b)＋(＋a)≥2a＋2b，baa2b2∴＋≥a＋b＝4，ba当且仅当a＝b＝2时等号成立．证法2：∵g(x)＝

17、x－1

18、＋

19、x＋3

20、≥

21、(x－1)－(x＋3)

22、＝4，∴m＝4，即a＋b＝4，a2b2a2b2由柯西不等式得(＋)(b＋a)≥(a＋b)2，∴＋≥a＋b＝4，当babaa2b2ba且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立．ba3．(2019·贵阳市监测考试)已知不等式

23、2x－3

24、

25、m－n；(2)若a，b，c∈(0,1)，且ab＋bc＋ac＝m－n，求a2＋b2＋c2的最小值．解：(1)当x≤0时，不等式的解集为空集；当x>0时，

26、2x－3

27、

28、＋b2＋c2的最小值是1.4．(2019·陕西质量检测)已知函数f(x)＝

29、2x－1

30、＋

31、x＋1

32、.(1)解不等式f(x)≤3；3(2)记函数g(x)＝f(x)＋

33、x＋1

34、的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥t＋3t.－3x，x≤－1，12－x，－1

35、－1≤x≤1}．(2)证明：g(x)＝f(x)＋

36、x＋1

37、＝

38、2x－1

39、＋

40、

41、2x＋2

42、≥

43、2x－1－2x－2

44、＝3，当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M＝[3，＋∞)．3t3－3t2＋t－3t－3t2＋1t2＋1－3t－＝＝，ttt∵t∈M，∴t－3≥0，t2＋1>0，t－3t2＋13∴≥0，∴t2＋1≥＋3t.tt5．(2019·广东中山二模)已知函数f(x)＝x＋1＋

45、3－x

46、，x≥－1.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求证：2a9＋b≥.8x＋1＋3－x≤6，解：(1)根据题意，若f(x)≤6，则有－1≤x

47、<3x＋1＋x－3≤6，或解得－1≤x≤4，x≥3，故原不等式的解集为{x

48、－1≤x≤4}．(2)证明：函数f(x)＝x＋1＋

49、3－x

50、4，－1≤x<3，＝2x－2，x≥3，分析可得f(x)的最小值为4，即n＝4，12则正数a，b满足8ab＝a＋2b，即＋＝8，ba11212a2b12a2b9∴2a＋b＝＋(2a＋b)＝＋＋5≥5＋2·＝，8ba8ba8ba8原不等式得证．6．(2019·山西晋中二模)已知函数f(x)＝

51、x＋1

52、.(1)若∃x∈R，使不等式f(x－2)－f(x－3)≥

53、u成立，求满足条件000的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a－1)(b－1)(c－1)＝t，求证：a