偏微分方程数值解论文

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1、一维热传导方程的前向、紧差分格式目录引言..............................................3物理背景.............................................3网格剖分..........................................4向前格式建立.................................4差分格式的求解....................................6收敛性与稳定性...............

2、........................6数值例子..........................................9紧差分格式建立...................................12差分格式求解.....................................14数值例子.........................................15总结................................................19参考文献......

3、...................................20附录.............................................2123一维热传导方程的前向、紧差分格式1引言本文考虑的一维非齐次热传导方程的定解问题：其中为正常数，为已知函数，目前常用的求解热传导方程的差分格式有前向Euler差分格式、向后Euler差分格式、Crank-Nicolson格式、Richardson格式．本文将给出前向Euler格式和紧差分格式，并给出其截断误差和数值例子．2物理背景热传导是由于物体内部温度分布不均匀

4、,热量要从物体内温度较高的点流向温度较低的点处.以函数表示物体在时刻,处的温度,并假设关于具有二阶连续偏导数,关于具有一阶连续偏导数.是物体在处的热传导系数,取正值.设物体的比热容为,密度为.根据热传导定律,热量守恒定律以及公式得23一维热传导方程的前向、紧差分格式如果物体是均匀的,此时以及均为常数.令,上式方程化为若考虑物体内有热源,其热源密度函数为,则有热源的热传导方程为其中.3网格剖分取空间步长和时间步长，其中都是正整数．用两族平行直线和将矩形域分割成矩形网格，网格节点为．记．以表示网格内点集合，即位于开矩形的网点集合；表示所有

5、位于闭矩形的网点集合；是网格界点集合.引进如下记号:，，，，分别称为无穷范式（一直范式）2范数（范数，平均范数），差商的2范数（差商的范式）和范式.4.1.1向前格式建立定义上的网格函数23一维热传导方程的前向、紧差分格式其中在结点处考虑微分方程(3.1-1),有(3.2)将和代入(3.2),得到(3.3-1)注意到初边值条件(3.1-2)和(3.1-3),有(3.3-2)(3.3-3)在(3.3-1)~(3.3-3)中略去小量项(3.4)并用代替，得到如下差分格式(3.5-1)(3.5-2)23一维热传导方程的前向、紧差分格式(3.

6、5-3)称为差分格式的局部截断误差。记(3.6-1)则有(3.6-2)4.1.2差分格式的求解记，称为步长比。差分格式(3.5-1)可写为上式表明第k+1层上的值由第k层上的值显示表示出来。若已知第k层的值，则由上式就可直接得到第k+1层上的值。有时也称(3.5-1)为古典显格式。可把古典显格式写成矩阵形式4.13收敛性与稳定性收敛性设为定解问题（3.1-1）~（3.1-3）的解，为差分格式（）（）的解，则当时，有，其中由（3.6-1）定义证明记23一维热传导方程的前向、紧差分格式将（3.3-1）~（3.6-1）分别于（3.5-1）~

7、（3.5-3）相减，得到误差方程当时，有证明完毕.稳定性如果在应用差分格式(3.5-1)~(3.5-3)时，计算右端函数有误差，计算初值有误差，则实际得到的是如下差分方程的解。(3.8)令将(3.5-1)~(3.5-3)与(3.8)相减，可得摄动方程组(3.9)当时，有(3.10)上式说明当和很小时，误差也很小。摄动方程组(3.9)和差分方程(3.5-1)~(3.5-3)的形式完全一样。上述结果可叙述如下。23一维热传导方程的前向、紧差分格式当时，差分格式(3.5-1)~(3.5-3)关于初值和右端项在下述意义下是稳定的：设为差分方程

8、组的解，则有下面来考虑的情况。此时必存在当时，于是设则（3.9）为可以验证其解为由此易知23一维热传导方程的前向、紧差分格式由于当时，所以不论初始误差多么小，均会使解有较大的误差。我们得到如下结论。定理3.1.4当时，差