专题十三 以圆为背景的相似三角形的计算与证明.ppt

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1、专题十三　以圆为背景的相似三角形的计算与证明题型分类·深度剖析【例1】(2014玉林)如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E.(1)求证：∠1＝∠2.(2)已知：OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长．典例精析题型分类·深度剖析解(1)证明：连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，即∠2＋∠ODC＝90°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∴∠2＋∠C＝90°，∵OC⊥OB，∴∠C＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2.

2、典例精析题型分类·深度剖析(2)∵OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，∴OF＝1，∵∠1＝∠2，∴EF＝ED，在Rt△ODE中，OD＝3，DE＝x，则EF＝x，OE＝1＋x，∵OD2＋DE2＝OE2，∴32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4，∴DE＝4，OE＝5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE＝90°，∵∠OED＝∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，典例精析题型分类·深度剖析探究提高本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．典例精析题型分类·深度剖析【例2】(2014咸宁)如图，已知AB

3、是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若点E为的中点，AD＝，AC＝8，求AB和CE的长．典例精析题型分类·深度剖析解(1)证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠DAC，即AC平分∠DAB.典例精析题型分类·深度剖析(2)连接BC、OE，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∵点E为的中点

4、，∴∠AOE＝90°，典例精析题型分类·深度剖析典例精析题型分类·深度剖析探究提高此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．典例精析题型分类·对点训练1.(2014荆门)如图，AB是半圆O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是(　　)A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD对点训练B、∵AD＝DE，∴，∴∠DAE＝∠B

5、，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；题型分类·对点训练解析如图，∠ADC＝∠ADB，A、∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，又∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故本选项错误．故选D.对点训练题型分类·对点训练1.(2014荆门)如图，AB是半圆O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE、AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条

6、件中错误的是(　　)A.∠ACD＝∠DABB.AD＝DEC.AD2＝BD·CDD.AD·AB＝AC·BD对点训练D题型分类·对点训练2.(2014内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为(　　)A.2.5B.1.6C.1.5D.1对点训练题型分类·对点训练解析连接OD、OE，设AD＝x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD＝OD＝CE＝4－x，∴BE＝6－(4－x)＝x＋2

7、，∵AC∥OE，∴∠A＝∠BOE，∴△AOD∽OBE，对点训练题型分类·对点训练2.(2014内江)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为(　　)A.2.5B.1.6C.1.5D.1对点训练B题型分类·对点训练3.(2014绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是(　　)对点训练题型分类·对点训练解析(1)连接AQ，如图1，∵BP为半圆O的切线，AB

8、为半圆O的直径，∴∠ABP＝∠ACB＝90°，∵OQ⊥BC，∴∠OQB＝90°，