中考数学专题复习 专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与证明课件

《中考数学专题复习 专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与证明课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题提升（十三）以圆为背景的相似三角形的计算与证明如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．(浙教版九下P43作业题第5题)图Z13－1一数轴与实数【解析】连接OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.∵AC切半圆O于E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，教材母题答图【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．1．[2014·枣

2、庄]如图Z13－2，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD，若AB＝12，AC＝8.(1)求OD的长；(2)求CD的长．图Z13－2解：(1)∵AB切⊙O于点B，∴AB⊥OB，∴△OBA是直角三角形，又∵AB＝12，AC＝8，由勾股定理得OB2＋AB2＝OA2，即OD2＋122＝(OD＋8)2，解得OD＝5.(2)∵CD⊥OB，AB⊥OB，∴EC∥AB，2．[2014·东营]如图Z13－3，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是为BA延长线上一点，若∠CD

3、B＝∠BFD.求证：(1)FD是⊙O的一条切线；(2)若AB＝10，AC＝8，求DF的长．图Z13－3解：(1)证明：∵∠CDB＝∠BFD，∠CDB＝∠CAB，∴∠BFD＝∠CAB，∴FD∥AC.又∵OD垂直于弦AC，∴OD⊥FD，∴FD是⊙O的一条切线．(2)∵AB是⊙O的直径，AB＝10，∴∠ACB＝90°，半径OA＝OB＝OD＝5.在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，由勾股定理得BC＝6.∵OD⊥AC，3．[2013·黄冈]如图Z13－4，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平

4、分∠DAB.(1)求证：DC为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．图Z13－4解：(1)证明：连结OC.∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴DC为⊙O的切线．变式3答图(1)(2)连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.∵∠OAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACB，变形3答图(2)4．[2014·达州]如图Z13－5，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交

5、⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)连结AD，己知BC＝10，BE＝2，求sin∠BAD的值．图Z13－5解：(1)证明：连结OD，如图，∵BD平分∠CBQ交⊙O于点D.∴∠CBD＝∠QBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠QBD，∴OD∥BQ，又∵DE⊥PQ，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．变形4答图(1)(2)解：连结CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴∠BDC＝∠BED.又∵∠CBD＝∠QBD，变形4答图(2)5．[20

6、13·宜宾]如图Z13－6，AB是⊙O的直径，∠B＝∠CAD.(1)求证：AC是⊙O的切线；图Z13－6解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°.又∵∠B＝∠CAD，∴∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)∵∠B＝∠CAD，∠BDA＝∠ADC＝90°，∴△ADB∽△CDA，∴AD2＝BD·CD.又∵BD＝5，CD＝4，∴AD2＝BD·CD＝20，6．[2014·遂宁]已知：如图Z13－7，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交

7、于点P，连结PD.图Z13－7(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：PD2＝PB·PA；解：(1)证明：如图：连结OD、OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC.∴∠OCP＝90°.∵直径AB⊥CD，∴O，P是CD垂直平分线上的点，∴OD＝OC，PD＝PC.又∵OP＝OP，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP＝90°，∴PD是⊙O的切线．变形6答图(2)∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°，∴∠ODB＋∠PDB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠PDB＝∠ADO.∵OA＝

8、OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠PDB＝∠A.又∵∠DPB＝∠APD，∴△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB∶PD，∴PD2＝PB·PA.(3)∵∠A＋∠ABD＝90°＝∠CDB＋∠ABD，∴∠A＝∠CDB.∴AD＝2BD.∵△DPB∽△APD，∴PD∶PA＝PB