以圆为背景的相似三角形的计算和证明

以圆为背景的相似三角形的计算和证明

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1、WORD格式以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13-1,DB为半圆的直径,A为BD延长线上的一点,AC切半圆于点E,BC⊥AC于点C,交半圆于点F.已知AC=12,BC=9,求AO的长.图Z13-1     经典母题答图解:如答图,连结OE,设⊙O的半径是R,则OE=OB=R.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AB==15.∵AC切半圆O于点E,∴OE⊥AC,∴∠OEA=90°=∠C,∴OE∥BC,∴△AEO∽△ACB,∴=,∴=,解得R=,∴AO=AB-OB=15-R=.【思想方法】 利

2、用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形,从而得到相似三角形,利用比例线段求AO的长.【中考变形】图Z13-21.如图Z13-2,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,O是AC边上的一点,以O为圆心,OC为半径的圆与AB相切于点D,连结OD.(1)求证:△ADO∽△ACB;(2)若⊙O的半径为1,求证:AC=AD·BC.专业资料.整理分享WORD格式证明:(1)∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB,∴∠C=∠ADO=90°,∵∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB;(2)由(1)知,△ADO∽△ACB.∴=,∴AD

3、·BC=AC·OD,∵OD=1,∴AC=AD·BC.2.[2017·德州]如图Z13-3,已知Rt△ABC,∠C=90°,D为BC的中点,以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)若AE∶EB=1∶2,BC=6,求AE的长.图Z13-3   中考变形2答图解:(1)证明:如答图,连结OE,EC,∵AC是⊙O的直径,∴∠AEC=∠BEC=90°,∵D为BC的中点,∴ED=DC=BD,∴∠1=∠2,∵OE=OC,∴∠3=∠4,∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACB,∵∠ACB

4、=90°,∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;(2)由(1)知∠BEC=90°,∵在Rt△BEC与Rt△BCA中,∠B=∠B,∠BEC=∠BCA,∴△BEC∽△BCA,∴=,专业资料.整理分享WORD格式∴BC2=BE·BA,∵AE∶EB=1∶2,设AE=x,则BE=2x,BA=3x,∵BC=6,∴62=2x·3x,解得x=,即AE=.3.如图Z13-4,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB,连结OC,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证:直线CD是⊙O的切线;(2)若DE=2BC,求A

5、D∶OC的值.图Z13-4中考变形3答图解:(1)证明:如答图,连结DO.∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB.又∵CO=CO,OD=OB,∴△COD≌△COB(SAS),∴∠CDO=∠CBO=90°,即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上,∴直线CD是⊙O的切线;(2)由(1)知,△COD≌△COB,∴CD=CB.∵DE=2BC,∴DE=2CD.∵AD∥OC,∴△EDA∽△ECO,∴===.4.[2016·广东]如图Z13-5,⊙O是△

6、ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,∠ABC=30°.过点B作⊙O的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO专业资料.整理分享WORD格式的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)求证:△ACF∽△DAE;(2)若S△AOC=,求DE的长;(3)连结EF,求证:EF是⊙O的切线.图Z13-5中考变形4答图解:(1)证明:∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC=90°,又∵∠ABC=30°,∴∠ACB=60°,又∵OA=OC,∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,

7、∵AF为⊙O的切线,∴∠OAF=90°,∴∠CAF=∠AFC=30°,∵DE为⊙O的切线,∴∠DBC=∠OBE=90°,∴∠D=∠DEA=30°,∴∠D=∠CAF,∠DEA=∠AFC,∴△ACF∽△DAE;(2)∵△AOC为等边三角形,∴S△AOC=OA2=,∴OA=1,BC=2,OB=1,又∵∠D=∠BEO=30°,∴BD=2,BE=,∴DE=3;(3)证明:如答图,过点O作OM⊥EF于点M,专业资料.整理分享WORD格式∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,∴△OAF≌△OBE

8、(SAS),∴OE=OF,∵∠EOF=120°,∴∠OEM=∠OFM=30°,∴∠OEB=∠OEM=30°,即OE平分∠BEF,又∵∠OBE=∠OME=90°,∴OM=OB,∴EF为⊙O的切线.5.[2017·株洲]如图Z13-6,AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F在AE的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.(1)求证:CE∥BF;(2)若BD=2,且EA∶EB∶EC=3∶1∶,求△

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