以圆为背景的相似三角形的计算与证明.pdf

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1、以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．图Z13－1经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得22AB＝AC＋BC＝15.∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，OEAOR15－R45∴＝，∴＝，解得R＝，BCAB915875∴AO＝AB－OB＝15－R＝.8【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，

2、从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.图Z13－2证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；ADOD(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴＝，ACBC∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点

3、，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，BEBC∴△BEC∽△BCA，∴＝，BCBA2∴BC＝BE·BA，∵A

4、E∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，2∵BC＝6，∴6＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝6.3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上

5、，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，ADDEDE2∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝.OCCEDE＋CD34．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；3(2)若S△AOC＝，求DE的长；4(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－5中考变形4答图解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，

6、∴∠BAC＝90°，又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；323(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝OA＝，44∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠

7、BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又∵∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△B