九年级数学上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系课堂导学案 （新版）冀教版.doc

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1、24.3一元二次方程根与系数的关系能力点1利用根与系数的关系求代数式的值题型导引利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值时，常见的代数式有：(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)＋＝；(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；(4)＋＝；(5)

2、x1－x2

3、＝.【例1】已知一元二次方程2x2－6x－1＝0的两实数根为x1，x2，不解方程，求代数式＋的值．分析：代数式＋＝，然后根据根与系数的关系可知，x1＋x2＝3，x1·x2＝－，然后代入求值即可．解：∵x1＋x2＝3，x1·x2＝

4、－，∴＋＝＝＝＝－20.规律总结在利用根与系数的关系求代数式的值时，首先将所求的代数式转化为含有x1＋x2，x1·x2的形式，然后利用根与系数的关系求得x1＋x2，x1·x2的值，最后将其代入所求的代数式并求值即可．变式训练已知x1，x2是方程x2－2x－2＝0的两实数根，不解方程求下列各式的值：(1)＋；(2)－.分析：欲求＋，－的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，再把两根之和、两根之积代入其中计算即可．因为x1与x2的大小不明确，所以对x1与x2的大小分情况讨论．解：根据根与系数的关系得x1＋x2

5、＝2，x1·x2＝－2，(1)＋＝＝＝－2；(2)①当x1x2时，－＝＝－＝－＝－＝－＝.能力点2已知一元二次方程的一个根求其另一个根及字母系数的值题型导引在问题中给出一元二次方程的一个根，将其代入到根与系数的关系式中确定另一个根或字母系数的取值范围．【例2】已知方程x2－4x＋m＝0的一个根为－2，求该方程的另一根及m的值．分析：根据题意得两根之和等于－4，可以求出方程的另一根，再根据两根之积等于m求m的值；也可以先把x＝－2代入方程求出m的值，然后再把m的值代入方程，通过解

6、一元二次方程求出方程的另一根．解法一：设原方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝4，x1x2＝m.∵x1＝－2，∴x2＝4－x1＝6，m＝x1x2＝－12.故所求方程的另一根是6，m的值为－12.解法二：把x＝－2代入原方程x2－4x＋m＝0.得m＝－12.解方程x2－4x－12＝0，得x1＝－2，x2＝6.故所求方程的另一根是6，m的值为－12.规律总结一元二次方程根与系数的关系是x1＋x2＝－，x1·x2＝，运用这一关系，可以很简洁地解决与方程系数有关的问题．已知方程的一根求其另一根：当常数项含有字母系数时，利

7、用两根之和求另一根；当一次项含有字母系数时，利用两根之积求另一根．变式训练1．已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k的值为________．2．已知关于x的一元二次方程2(x－1)2－m＝x2＋x的一根为－1，求其另一根及m的值．分析解答1．解析：设方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－(2k＋1)，x1·x2＝k2－2，∵x＋x＝11，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝11.∴(2k＋1)2－2(k2－2)＝11，解得k＝1或－3.∵Δ＝

8、(2k＋1)2－4×(k2－2)＝4k＋9＞0，∴k＞－.故k的值应为1.答案：12．解：∵关于x的一元二次方程2(x－1)2－m＝x2＋x的一根为－1，∴2×(－1－1)2－m＝(－1)2＋(－1)．∴m＝8，原方程可变形为2(x－1)2－8＝x2＋x，整理得x2－5x－6＝0.设方程的另一根为x1，又∵x＝－1，∴x1·(－1)＝－6，解得x1＝6.故所求方程的另一根为6.