2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 第2课时 圆的一般方程学案 苏教版必修2.doc

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1、2.2.1第2课时　圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理　圆的一般方程的定义阅读教材P109，完成下列问题．1．圆的一般方程的定义(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2

2、．点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<01．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(√)(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(×)(3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx

3、＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0.(√)2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0化为标准形式为_____________________．【解析】　由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2.故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.【答案】　(x－1)2＋(y＋2)2＝23．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是______________．【解析】　由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1.【答案】　(－∞，1)[小组合作型]　

4、二元二次方程的曲线与圆的关系　下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4y＝0；(5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．【精彩点拨】　根据二元二次方程表示圆的条件判断．【自主解答】　(1)∵A≠B，∴不能表示圆．(2)∵xy前的系数不等于0，∴不能表示圆．(3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0，∴不能表示圆．(4)方程变形为x2＋y2－2y＝0.

5、配方得x2＋(y－1)2＝1，故方程表示圆，其圆心为(0,1)，半径为1.(5)法一：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0，即2＋2＝.∵>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝.法二：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0.∵D2＋E2－4F＝＋＝>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形

6、成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．[再练一题]1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状．【解】　当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)，半径为的圆；当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)；当－1

7、可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．【自主解答】　(1)法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．∵此圆过A，B，C三点，∴解得∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则②－①，③－①得解得a＝－2，b＝2.∴r2＝10.∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法三：AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2

8、)，联立解得圆心坐标为(－2,2)．设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法四：由于kAB＝＝2，kAC＝＝－，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥A