2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.1 第1课时 圆的标准方程学案 苏教版必修2

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1、2．2.1　第1课时　圆的标准方程1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点、难点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1　圆的定义及标准方程阅读教材P107～P108例1，完成下列问题．1．圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．2．圆的标准方程圆特殊情况一般情况圆心(0,0)(a，b)半径r(r>0)r(r>0)标准方程x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2备注确定圆的标准方程的关键

2、是确定圆心和半径1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是________．【答案】　(2，－3)，2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是________．【答案】　x2＋y2＝43．以原点为圆心，且过点(2,2)的圆的标准方程为________________．【解析】　由题意可设圆的标准方程为x2＋y2＝r2，又(2,2)在圆上，故22＋22＝r2，即r2＝8.故所求圆的标准方程为x2＋y2＝8.【答案】　x2＋y2＝8教材整理2　点与圆的位置关系阅读教材P107～P108，完成下列问题．设点P到圆心的距离为d

3、，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞rd＝rd＜r1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)2．若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝__________.【解析】　把点P(－1，)代入x2＋y2＝m2，得1＋3＝m2

4、，∴m＝2或－2.【答案】　2或－2[小组合作型]　求圆的标准方程　求下列各圆的标准方程．(1)圆心为点C(8，－3)，且经过点P(5,1)；(2)以P1(1,2)，P2(－3,4)为直径的端点．(3)与x轴相交于A(1,0)，B(5,0)两点且半径为.【精彩点拨】　(1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的标准方程，由已知条件列方程组求解．【自主解答】　(1)由题意可知，圆的半径r＝PC＝＝5，所以圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25，(2)由题意可知，P1，P2的中点P的坐标为(－1,3)．又P1P2＝＝2

5、，所以圆的半径为P1P2＝.即所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝5.(3)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.因为点A，B在圆上，所以可得到方程组：解得或所以圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.法二：由于A，B两点在圆上，所以线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可以设圆心为C(3，b)，又由AC＝，得＝，解得b＝1或b＝－1，所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.

6、求圆的标准方程的常用方法：(1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数a，b，r，根据题目条件列出a，b，r的方程组求解，代数法体现了方程思想．(2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的思想．[再练一题]1．已知圆心为C的圆经过点A(0,2)和B(－3,3)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．求圆C的标准方程.【解】　法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.法二：因为A(0,2)，B(－3,3)，所以线段

7、AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－，故线段AB的垂直平分线方程是y－＝3，即3x－y＋7＝0.由得所以圆心C的坐标为(－3，－2)．∴圆的半径r＝AC＝＝5，所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.　圆的方程的实际应用　如图2－2－1所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶2m时，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽多少m？(结果保留两位小数)图2－2－1【精彩点拨】　由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水面宽度．【自主解答】　以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所

8、示，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．设圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2，将A(6，－2)代入方程，得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)．如