解析几何中定值和定点问题.doc

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1、解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b =1.

2、∴椭圆C的方程为  （II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得 方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c²=1设椭圆方程为x²/（b²+1）+y

3、²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0解得b²=3（另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①x²/4+y²/3=1②①，②联立得出两个解一个是A（1,3/2）另一个是E（x1，y1）①代入②消去y得（1/4+k²/3）x²-（2k²/3-k）x+k²/3-k-1/4=0根据韦达定理x1·1=（k²/3-k-1/4）/（1/4+k²/3）③将③的结果代入①式得y1=（-k²/2-k/2+3/8）/(1/4+k²/3)设AF斜率为-k，F（x2，y2）则AF方程为y-（3/2）=-

4、k（x-1）④x²/4+y²/3=1②②④联立同样解得x2=（k²/3+k-1/4）/（1/4+k²/3）y2=（-k²/2+k/2+3/8）/（1/4+k²/3）EF斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。例3、已知椭圆的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）∵椭圆离心率为，∴，∴.又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.所以.∴椭圆方程为，即.（2）在x轴上存在点M

5、，使是与K无关的常数.证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数，∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,∴L方程为，由得.设，则∵∴====设常数为t，则.整理得对任意的k恒成立，解得，即在x轴上存在点M（），使是与K无关的常数.题型2：定点问题例4.已知椭圆C：(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线。（1）求椭圆的方程 ;   (2)过点S（0，-1/3）的动直线L交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不

6、存在，请说明理由。例5..在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）（Ⅰ）求m2+k2的最小值；（Ⅱ）若

7、OG

8、2=

9、OD

10、·

11、OE

12、，（ⅰ）求证：直线l过定点；（ⅱ）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由。解：（Ⅰ）由题意：设直线l：y=kx+n(n≠0)，由，消y得：，设A、B，AB的中点E，则由韦达定理得：=，即，，所以中点E的坐标为E，因为O、E、D三点在同一直线上，所以kO

13、E=kOD，即，解得，所以m2+k2=，当且仅当k=1时取等号，即m2+k2的最小值为2。（Ⅱ）（ⅰ）证明：由题意知：n＞0，因为直线OD的方程为，所以由得交点G的纵坐标为，又因为，，且

14、OG

15、2=

16、OD

17、·

18、OE

19、，所以，又由（Ⅰ）知：，所以解得k=n，所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点(-1，0)；（ⅱ）假设点B，G关于x轴对称，则有△ABG的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上，由（ⅰ）知点G，所以点B，又因为直线l过定点(-1，0)，所以直线l的斜率为，又