解析几何中的定点和定值问题

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1、解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。AByOx例1、已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上异于原点O的两个不同点，

2、直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。解析：设A（），B（），则，代入得（1）又设直线AB的方程为，则∴，代入（1）式得∴直线AB的方程为∴直线AB过定点（-说明：本题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB，再从AB直线系中看出定点。例2．已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范

3、围；19⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．解析：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为①联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．⑶设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得．②由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．【针对性练习1】在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．⑴求轨迹的方程；⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．解：⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是

4、长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为．⑵将，代入曲线的方程，整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以①19设，，则，②且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：，且直线经过定点点．【针对性练习2】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分

5、别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。19联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点

6、T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方

7、程；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆19的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则解得∴椭圆C的标准方程为．……4分（Ⅱ）由方程组消去，得．……6分由题意△，整理得：①………7分设，则，．………8分由已知，，且椭圆的右顶点为，∴　．　　……10分即，也即，整理得．解得或，均满足①………11分当时，直线的方程为，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为，过定点，故直线过定点，且定点的坐标为．…………13分例3、已

8、知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率19，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点。（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；（Ⅲ）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由。解法一：（I）设椭圆方程为，由题意知故