解析几何中的定值和定点问题

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1、解析几何中的定值定点问题（一）一、定点问题【例1】．已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．解：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为①联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．⑶设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得．②由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．【针对性练习1】在直角坐标系中，点到点，的距离之

2、和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．⑴求轨迹的方程；⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．解：⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为11的椭圆，其方程为．⑵将，代入曲线的方程，整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和，所以①设，，则，②且，显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①，当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：，且直线经过定点点．【针对性练习2

3、】在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。11由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即

4、。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。11若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在轴上，焦距为，短轴长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（

5、Ⅱ）若直线：与椭圆交于不同的两点（不是椭圆的左、右顶点），且以为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为，短半轴长为，半焦距为，则解得∴椭圆C的标准方程为．……4分（Ⅱ）由方程组消去，得．……6分由题意△，整理得：①………7分设，则，．………8分由已知，，且椭圆的右顶点为，∴　．　　……10分即，也即，整理得．解得或，均满足①………11分11当时，直线的方程为，过定点，不符合题意舍去；当时，直线的方程为，过定点，二、定值问题【例2】．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴的非负半轴上，点到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点距离的最大

6、值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率；(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点，动点满足，问是否存在一个定点，使到点的距离为定值？若存在，求出点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得.所以椭圆的标准方程为.离心率(Ⅱ),设由得化简得，即故存在一个定点，使到点的距离为定值，其定值为【例3】．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点．(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；(Ⅱ)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使

7、AB

8、为定值？若存在，求这个定值

9、；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，，即，故抛物线C的方程是．(Ⅱ)设圆心()，点A，B.因为圆过点P(2，0)，则可设圆M的方程为.令，得.则，.所以.，设抛物线C的方程为，因为圆心M在抛物线C上，则.所以11.由此可得，当时，为定值．故存在一条抛物线，使

10、AB

11、为定值4.解析几何中的定值定点问题（二）1、已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，