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《极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体体积公式推导.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第17卷第4期工 科 数 学Vol.17,№.42001年8月JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGYAug.2001一类旋转体体积计算法唐月红(南京航空航天大学理学院,南京210016)[摘 要]对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法、P.Guldin定理及球坐标下三重积分计算,给出三种计算方法.本文不仅导出了一类旋转体体积的简单计算公式,而且其中的解题思想方法有助于学生提高解题能力和数学素养.[关键词]高等数学;体积;极坐标[中图分类号]O17212[文献标识码]C[文章编号]100724120(2001)0420106203一般高等数学教材
2、中均给出了由直角坐标表出面积的旋转体体积计算公式.即,面积a≤x≤b,0≤y≤y(x).绕ox轴旋转所成旋转体的体积为b2V=P∫y(x)dx,(1)a式中y(x)为单值连续函数.绕oy轴旋转的情形与此相类似.我们常常还会遇到极坐标表出面积绕轴旋转的体积计算问题,即,求把面积S0≤A≤H≤B≤P,0≤r≤r(H)绕极轴旋转所成的体积V.式中r=r(H)为单值连续函数,若用直角坐标方程表出往往是多值的.高等数学教材中并未涉及这一问题.以下导出它的计算方法.方法之一:积分元素法.(i)求圆扇形0≤A≤H≤U≤P,0≤r≤R绕极轴旋转所得体积V1(见图1).变换到直角坐标系,注意到式图1(1),
3、有RcosAP222P2V1=(RsinU)(RcosU)+∫P(R-x)dx-(RsinA)(RcosA)3RcosU3P32P323P333=RsinUcosU-RsinAcosA+PR(cosA-cosU)-R(cosA-cosU).(2)333(ii)求V1的体积元素dV1.视A固定,V1是U的函数.对式(2)两边求微分,得2P32P33332dV1=RsinUcosU-RsinU+PRsinU-PRcosUsinUdU332P3=RsinUdU.3故[收稿日期]2000210231©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allri
4、ghtsreserved.第4期 唐月红:一类旋转体体积计算法107$V1=dV1+o($U).(4)$V1就是无穷小圆扇形:[U,U+$U]×[0,r(U)]绕极轴的旋转体积.(iii)求旋转体体积V.先写出体积元素dV.故考虑面积[H,H+$H]á[0,r(H)]绕极轴旋转所得体积$V(见图2).令M=maxr(H),m=minr(H),由式(4),则有[H,H+$H][H,H+$H]2323PmsinH$H+o($H)≤$V≤PMsinH$H+o($H),3323o($H)$V23o($H)即PmsinH+≤≤PMsinH+.3$H$H3$H令$H→0,由r
5、(H)的连续性有,limm=limM=r(H).$H→0$H→0dV2P3由夹逼性得=r(H)sinH,故dH32P3dV=r(H)sinHdH.(5)3图2由此得B2P3V=r(H)sinHdH.3∫A[1]方法之二:运用古尔金(P.Guldin)第二定理.P.Guldin第二定理 面积S绕不与它相交的轴的旋转体体积V等于面积S与这面积的重心(N,G)所画出的圆周之长的乘积,Vx=S·2PG.(6)2见图2中无穷小面积:[H,H+$H]×[0,r(H)],其重心集中在r(H),H,设均匀面积S的重心坐标为3ql(x,y),则BBl121213y=rsinH·rdH=r(H)sinHdH.
6、(7)S∫A323S∫A由P.Guldin第二定理,有Bl2P3V=2Py·S=r(H)sinHdH.3∫A方法之三:用球坐标系下的三重积分计算.取极轴为z轴,则面积为SA≤H≤B,0≤r≤r(H)绕z轴旋转的旋转体(见图3)A≤H≤B,8:0≤U≤2P,0≤r≤r(H),则体积2V=mdV=mrsinHdrdHdU882PBr(H)2=∫dU∫dH∫rsinHdr0A0B2P3=r(H)sinHdH.(3)图33∫A以上我们用三种方法导出了极坐标表出面积绕轴旋转的旋转体体积计算公式.若要求这类旋转体的体积,只要直接代入式(3),计算十分方便.例 求由以下方程所围成曲面S绕极轴旋转所成的旋
7、转体体积V.©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.108工 科 数 学 第17卷(i)r=a(1+cosH)(0≤H≤2P);222222(ii)(x+y)=a(x-y).PP2P32P3383解 (i)V=r(H)sinHdH=a(1+cosH)sinHdH=Pa.3∫03∫0322(ii)写成极坐标方程为
