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1、Vol10,No6高等数学研究Nov.,2007STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS17*极坐标系下旋转体体积元素的直接构造法燕列雅赵彦晖(西安建筑科技大学数学系西安710055)摘要用元素法的思想,讨论了在极坐标系下平面图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积元素的直接构造法,进行了这种构造正确性的理论证明,给出算例.关键词极坐标旋转体体积元素构造中图分类号O172.21问题的提出若平面曲线以直角坐标形式给出,则无论是计算平面曲线的弧长,还是平面曲线所围平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋旋一周所得旋体的体积,按元
2、素法的思想,都可以很容易地构造出所求量的微元,从而写出所求量的积分表达式.同样,当平面曲线由极坐标方程给出时,按元素法的思想,亦能容易构造出弧长元素和面积元素,进而得到计算弧长的公式和计算平面图形面积的公式.所有这些,在工科类高等数学教科书中都有详细的讲述.但是,若边界曲线由极坐标方程表示的[1][2][3]平面图形绕极轴旋转一周时,其旋转体的体积又该如何计算呢?一般教科书和数学手册中都未提及,文[4]就这个问题介绍了古鲁金第二定理.能否就这个问题直接构造体积元素呢?下面进行讨论.2体积元素的构造设平面图形由曲线r=r()及射线=,=围成(如图1),其中r=r(
3、)在区间[,]上连续且r()0.且极角为积分变量,它的变化区间为[,],现在考虑对应于[,]上任一微元[,+d]的窄曲边扇形(图1中阴影部分)绕极轴旋转一周所得旋转体的体积V,而V近似等于以r=r()为半径的扇形绕极轴旋转一周的旋转体体积.若设想将该体积展开,使内锥面平铺在平面上,可知该体积近似等于以r=r()为半径,弧长为2r()sin的扇形为底,高为r()d的柱2体积的,(即从柱体中挖去了相应锥体的体积,如图2),故3V的近似值,即体积元素应为22r()sin2图1dV=[r()]r()d=32r()23
4、[r()]sind(1)3从而,旋转体的体积为23V=[r()]sind(2)3*收稿日期:2006-11-17.18高等数学研究2007年11月3理论证明为了证明体积元素(1)构造的正确性,对任意的(,),我们考察图1中与区间[,]对应的曲边扇形OABO(图3中的阴影部分)绕极轴旋转一周的旋转体的体积V(),利用直角坐标系下的元素法,不难求得baa222V()=(xtan)dx+[y(x)]dx-(xtan)dx0b013132=[r()]sincos-[r()]sinc
5、os+33a2b[y(x)]dx图2其中y=y(x)是曲线r=r()在直角坐标系下的方程,利用直角坐标与极坐标间的关系x=r()cosy=r()sin在上式作积分变量替换x=r()cos可将上式化为132132V()=[()]sincos-[r()]sincos33图322+[r()sin]r()sind-[r()sin]r()cosd对此式求微分得体积微分,即得体积元素为23223323dV=[r()]sincos+[r()]sind=[r()]sind333这与公式(1)完全一
6、致,这说明2中给出的构造体积元素的方法是完全正确的.4实际应用虽然,上述证明过程很复杂,但在元素法的实际应用中却很简单,因为只要按上述构造过程想象(不必画图,这也正是元素法简单易用的特点所在),就可直接写出体积元素22rsin2dV=rrd32r23当然,也可将V=[r()]sind作为公式直接应用.3例求四叶玫瑰线r=sin2绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.解四叶玫瑰线的图形见图4.按本文的方法,取极角为积分变量,则体积元素为2316343dV=rsind=asincosd33图4由对称性可得321634332a
7、246V=2asincosd=(sin-sin)dsin=(下转35页)0330第10卷第6期潘杨友:函数性质在原函数与其导函数间交互传递性讨论35反例5设21111xcos2,x(0,1]2xcos2+2sin2,x(0,1]F(x)=x则f(x)=xxx0,x=00,x=0易见F(x)在x=0处有极限,而f(x)没有.命题6(2)反例5说明F(x)在[0,1]上连续,f(x)在[0,1]不连续.2(4)反例6,设f(x)=sinx,则f(x)为初等连续
