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1、2001年增刊(增总第6期)渭南师范学院学报Vol.16S绕任一直线旋转体体积及旋转曲面面积公式薛利敏(渭南师范学院数学系,陕西渭南714000)摘要:本文用微元法证明了平面光滑曲线段绕任一直线旋转所成旋转体体积及旋转曲面面积公式关键词:微元法;直线;旋转体体积公式;旋转曲面面积公式中图分类号:O18文献标识码:A文章编号:1009—5128(2001)S0—0046—02在数学分析中,由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的平面图形绕x轴得一旋转体,其体积公b式:V=∫f2(x)dx(公式1)。光滑曲线段y=f(x)>0,(a≤x≤b)绕x轴旋转所成旋转曲面,其面
2、积公式:Sab=2∫f(x)1+f2(x)dx(公式2)。下面,我们进一步讨论一平面光滑曲线段绕平面中任一直线旋转所成a旋转体体积及旋转曲面面积。1曲线段y=f(x)绕直线y=kx+c旋转所成旋转体的体积及旋转曲面的面积公式定理1在xoy平面内,光滑曲线段y=f(x),(a≤x≤b)绕直线y=kx+c旋转所成旋转体的体积及旋转曲面的面积分别为:bV=kx+c-f(x)2dx(公式3),1+k2∫abkx+c-f(x)2S=21+f(x)dx(公∫a1+k2式4).证明:如图1,设A(a,f(a)),B(b,f(b)),M(x,f(x)),记曲线段AB在直线y=kx+c上
3、的投影区间为[A,B],将区间[A,B]任意分割,考虑小区间[M,N],相应于这一段区间上,由小弧段MN绕直线y=kx+c旋转可得到一个小旋转体MM"N"N及一条窄带,记MM"N"N的体积为V,MM"N"N的表面积为S,用直线段MN(长度记为l)绕y=kx+c旋转所得到的正圆台的侧面积来近似代替S(记MM=h,NN=h+h),S≈(h+h+h)l=2hl+hl.当MN→0时,hl是高阶无穷小量,可以略去不计,因此得到旋转曲面面积微元为:ds=2hdl.kx+c-ykx+c-f(x)其中h是点M到直线y=kx+
4、c的距离,所以h==,dl是曲线AB弧的221+k1+k弧微分,所在dl=1+f2(x)dx,且x相应的变化区间为[a,b],所以:2001年增刊薛利敏:绕任一直线旋转体体积及旋转曲面面积公式·47·kx+c-f(x)2ds=21+f(x)dx.1+k2由微元法得旋转曲面面积为:bkx+c-f(x)S=2∫)1+f2(x)dx.a1+k2kx+c-f(x)2kx+c-f(x)22而MM"N"N的体积V≈=()MN,体积元素dv=()1+kdx.221+k1+kb由微元法得旋转体体积:V=[kx+c-f(x)]2dx.1+k2∫a由此可知:当直线
5、为x轴(y=0)时,公式3、公式4分别为公式1、公式2.因此,公式1、2分别是公式3、4的一种特殊情况。但是当直线与x轴垂直时,公式3、公式4显然不适用,这时,我们有:2曲线段x=(y)绕直线x=a旋转所成旋转体体积及旋转曲面面积公式定理2在xoy平面内,光滑曲线段x=(y),(c≤y≤d)绕直线x=a旋转所成旋转体体积及旋转曲面面积公式分别为:dV=∫(!(y)-a)2dy(公式5),cdS=2∫!(y)-a1+!2(y)dy(公式6).c证法同定理1.3应用举例例:求曲线段y=x2(0≤x≤1)绕直线y=x旋转所成旋转体体积及旋转曲面面积.12解:由公式3得:V
6、=(x-x2)2dx==.1+12∫030260由公式4得:1x-x21S=2∫1+[(x2)]2dx=2∫(x-x2)1+4x2dx01+120123x212212=2(1+4x)2-2(2x+()x+()1282211()42212+2ln(x+x+()820325-1ln(2+5)95)=2(+-)126432参考文献:[1]四川大学教学系高等教学教研室.高等数学:第一册[M](第3版).北京:高等教育出版社,2000.340～349.[2]同济大学应用数学系.高等数学习题集[M].北京:高等教育出版社,1998.390.
