微积分第七章 无穷级数.ppt

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1、第七章无穷级数§7.1无穷级数的概念§7.2无穷级数的基本性质§7.3正项级数§7.4任意项级数,绝对收敛§7.5幂级数§7.6泰勒公式与泰勒级数§7.7某些初等函数的幂级数展开式一、无穷级数的基本概念§7.1无穷级数的概念给定一个数列u1,u2,u3,,un,,则由这数列构成的表达式u1u2u3un其中第n项un叫做级数的一般项.叫做无穷级数,简称级数.称为级数,其中第n项un叫做级数的一般项.表达式级数举例:级数的展开形式备注一般项简写形式调和级数等比级数aqn-1几何级数p—级数级数的部分和:级数的前n项的和级数敛散性定义:余项:rnssnu

2、n1un2例1证明级数123n是发散的.证此级数的部分和为如果q1,则部分和解:(3)当q=-1时,因为sn当n为奇数时等于a；当n为偶数例2时等于零。(1)(2)解:因为提示:例3因此，当时，几何级数发散.§7.2无穷级数的基本性质性质1§7.2无穷级数的基本性质sn、sn、tn,则性质1性质2§7.2无穷级数的基本性质性质3在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数的敛散性不变.性质1性质2§7.2无穷级数的基本性质性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去

3、括号后原来的级数也收敛.例如,级数(11)+(11)+收敛,但级数1-11-1却是发散的.性质1性质2性质3在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数的敛散性不变.§7.2无穷级数的基本性质推论如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.性质1性质2性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.性质3在一个级数的前面加上、去掉或改变有限项,级数的敛散性不变.级数收敛的必要条件:证:注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.（2）判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件.推论:如果

4、则级数必发散.性质5如果收敛,则证:但另一方面,解:因为所以级数发散。例4判断级数的敛散性。例5证明调和级数nn11¥=å是发散的.正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.一、正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.定理1(正项级数收敛的充要条件)§7.3正项级数二、正项级数敛散性的判别法定理2(比较判别法)推论:例1判断下列级数的敛散性.解:(1)因为(2)而且收敛.所以，由比较判别法可知，级数收敛.而且发散.所以，由比较判别法可知，级数发散.解定理2(比较判别法)设∑un和∑vn都是正项级数,且un

5、kvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.例2讨论p级数)0(11>å¥=pnpn的收敛性.所以当p级数)0(11>å¥=pnpn的收敛性：即当p>1时收敛；当p£1时发散.故该级数收敛.例如是的级数，(2)当1(或)时，级数发散定理3(比值判别法)用法：常判别含有因子或、的级数敛散性。设级数为正项级数,则如果(1)当时,级数收敛;(3)当1时，比值判别法不能用.解:所以根据比值判别法可知所给级数收敛例3证明级数是收敛的所以根据比值判别法可知所给级数收敛解所以当时，级数收敛；当时，级数发散.解例4判断级

6、数的敛散性.当时，级数成为它发散.例5判断级数的敛散性.解:因为例6判断级数的敛散性.所以而级数满足因此级数收敛,从而级数收敛(2)当1(或)时，级数发散定理4(根值判别法)用法：常判别含有因子或的级数敛散性。设级数为正项级数,则如果(1)当时,级数收敛;(3)当1时，根值判别法不能用.解:因为例7判断级数的敛散性.所以(1)当时,级数收敛;(2)当时,级数发散;(3)当时,有所以当时,级数发散.§7.4任意项级数,绝对收敛一、交错级数的定义交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.定理1(莱布尼兹定理)(1)unun1(n123)则级数收敛且

7、其和su1其余项rn的绝对值

8、rn

9、un1这是一个交错级数.解:由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s

10、rn

11、un1.定理1(莱布尼兹定理)因为此级数满足例1二、绝对收敛与条件收敛例如:若级数å¥=1

12、

13、nnu收敛,则称级数å¥=1nnu绝对收敛;收敛,而级数å¥=1

14、

15、nnu发散,则称级å¥=1nnu条件收敛.若级数å¥=1nnu三、绝对收敛与收敛的关系定理2