《微积分12无穷级数》PPT课件

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1、第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质1课件定义1若有一个无穷数列u1，u2，u3，，un，此无穷数列构成下列表达式u1+u2+u3++un+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项.一、无穷级数的概念2课件级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：3课件4课件我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和，容易写出：5课件定义2如果级数部分和数列有极限s，即则称无穷级数收敛.s称为此级数的和.且

2、有若无极限，则称无穷级数发散.注意:称为级数的余项，为代替s所产生的误差.6课件7课件二、收敛级数的基本性质性质1若级数收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛，且其和为ks.8课件性质2如果级数、分别收敛于即9课件性质3在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质4如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.10课件注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.11课件性质5(收敛的必要条件)如果

3、收敛，则它的一般项趋于零，即级数12课件结论：由此我们可得13课件注意:级数收敛的必要条件常用于级数发散的判定.14课件第二节正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法15课件一、正项级数及其审敛法定义设级数的每一项都是非负数,则称此级数是显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的，即正项级数.16课件定理1正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列{sn}有界.17课件证明:这是一个正项级数，其部分和为:故{sn}有界，所以原级数收敛.18课件定理2(

4、比较审敛法)设和都是正项级数，且若级数收敛，则级数收敛；反之，若级数发散，则级数也发散.二、正项级数收敛的比较判别法19课件则有：若发散，则也发散;且当时，有成立，则有：若收敛，则也收敛.推论设级数和是两个正项级数，且存在自然数N，使当时，有　　　（k>0)成立，20课件例2判定p-级数的敛散性.常数p>0.21课件22课件由此可得结论，p级数当时发散，p>1时收敛.23课件24课件由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；25课件定理４(达朗贝尔比值判别法)设为正项级数，如果(1)当时，级数收敛；(3)当时，级

5、数可能收敛，可能发散.(2)当()时，级数发散.三、正项级数收敛的比值判别法26课件27课件28课件例7判别级数解:由比值判别法可知所给级数发散.29课件此时，比值判别法失效，用其他方法判定;30课件第三节　绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛31课件一、交错级数及其审敛法定义正负项相间的级数，称为交错级数.32课件定理1(莱布尼兹定理)则级数收敛，且其和，并且其余项的绝对值:(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即如果交错级数33课件证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将

6、s2n写成两种形式:由(1)式可知{s2n}是单调增加的；由(2)式可知s2n

7、组成的级数收敛，则原级数必定收敛.39课件解因为而级数收敛，是绝对收敛还是条件收敛．例２判定级数所以也收敛，故绝对收敛．40课件注意：(1)由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数，一切判别正项级数敛散性的判别法，都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.41课件第四节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算42课件一、函数项级数的概念定义在区间I上的函数列则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数)无穷级数，简称(函数项)级数.对于每一个确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数43课件定

8、义形如的级数，称为(x−x0)的幂级数，均是常数，称为幂级数的系数.称为x的幂级数，它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时，(1)式变为：二、幂级数及其敛散性44课件定理2如果幂级数的系数满足条件：45课件46课件47课件例2求幂数的收敛半径与收敛区间.对于端点x=1，级数成为交错级数,