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时间:2019-06-20
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1、第一节无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质1课件定义1若有一个无穷数列u1,u2,u3,,un,此无穷数列构成下列表达式u1+u2+u3++un+(1)称以上表达式为(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项.一、无穷级数的概念2课件级数(1)的前n项相加得到它的前n项和,记作Sn.即:3课件4课件我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和,容易写出:5课件定义2如果级数部分和数列有极限s,即则称无穷级数收敛.s称为此级数的和.且
2、有若无极限,则称无穷级数发散.注意:称为级数的余项,为代替s所产生的误差.6课件7课件二、收敛级数的基本性质性质1若级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,且其和为ks.8课件性质2如果级数、分别收敛于即9课件性质3在级数前面加上或去掉有限项,不影响级数的敛散性.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.10课件注意:发散级数加括号后有可能收敛,即加括号后级数收敛,原级数未必收敛.推论:如果加括号以后所成的级数发散,则原级数也发散.11课件性质5(收敛的必要条件)如果
3、收敛,则它的一般项趋于零,即级数12课件结论:由此我们可得13课件注意:级数收敛的必要条件常用于级数发散的判定.14课件第二节正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法15课件一、正项级数及其审敛法定义设级数的每一项都是非负数,则称此级数是显然,正项级数的部分和{sn}数列是单调增加的,即正项级数.16课件定理1正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和数列{sn}有界.17课件证明:这是一个正项级数,其部分和为:故{sn}有界,所以原级数收敛.18课件定理2(
4、比较审敛法)设和都是正项级数,且若级数收敛,则级数收敛;反之,若级数发散,则级数也发散.二、正项级数收敛的比较判别法19课件则有:若发散,则也发散;且当时,有成立,则有:若收敛,则也收敛.推论设级数和是两个正项级数,且存在自然数N,使当时,有 (k>0)成立,20课件例2判定p-级数的敛散性.常数p>0.21课件22课件由此可得结论,p级数当时发散,p>1时收敛.23课件24课件由比较判别法可知,所给级数也发散.而级数是发散的;25课件定理4(达朗贝尔比值判别法)设为正项级数,如果(1)当时,级数收敛;(3)当时,级
5、数可能收敛,可能发散.(2)当()时,级数发散.三、正项级数收敛的比值判别法26课件27课件28课件例7判别级数解:由比值判别法可知所给级数发散.29课件此时,比值判别法失效,用其他方法判定;30课件第三节 绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛31课件一、交错级数及其审敛法定义正负项相间的级数,称为交错级数.32课件定理1(莱布尼兹定理)则级数收敛,且其和,并且其余项的绝对值:(1)级数前项大于后项,即(2)级数的通项趋于零,即如果交错级数33课件证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在,为此将
6、s2n写成两种形式:由(1)式可知{s2n}是单调增加的;由(2)式可知s2n7、组成的级数收敛,则原级数必定收敛.39课件解因为而级数收敛,是绝对收敛还是条件收敛.例2判定级数所以也收敛,故绝对收敛.40课件注意:(1)由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数,一切判别正项级数敛散性的判别法,都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.41课件第四节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算42课件一、函数项级数的概念定义在区间I上的函数列则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数)无穷级数,简称(函数项)级数.对于每一个确定的值,函数项级数(1)成为常数项级数43课件定8、义形如的级数,称为(x−x0)的幂级数,均是常数,称为幂级数的系数.称为x的幂级数,它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时,(1)式变为:二、幂级数及其敛散性44课件定理2如果幂级数的系数满足条件:45课件46课件47课件例2求幂数的收敛半径与收敛区间.对于端点x=1,级数成为交错级数,
7、组成的级数收敛,则原级数必定收敛.39课件解因为而级数收敛,是绝对收敛还是条件收敛.例2判定级数所以也收敛,故绝对收敛.40课件注意:(1)由于任意项级数各项的绝对值组成的级数是正项级数,一切判别正项级数敛散性的判别法,都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛.41课件第四节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算42课件一、函数项级数的概念定义在区间I上的函数列则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数)无穷级数,简称(函数项)级数.对于每一个确定的值,函数项级数(1)成为常数项级数43课件定
8、义形如的级数,称为(x−x0)的幂级数,均是常数,称为幂级数的系数.称为x的幂级数,它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时,(1)式变为:二、幂级数及其敛散性44课件定理2如果幂级数的系数满足条件:45课件46课件47课件例2求幂数的收敛半径与收敛区间.对于端点x=1,级数成为交错级数,
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