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《微积分第七章 无穷级数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。（2）掌握几何级数与p—级数的收敛性。（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。（9）了解函数展开为泰勒级数
2、的充分必要条件。（10）掌握函数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开成傅氏级数，会将定义在上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开．§7.1 常数项级数的概念及性质一、内容要点1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项；2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质1：若级数收敛于
3、和s，则级数也收敛，且其和为ks．(证明)性质2：若级数、分别收敛于和s、s，则级数也收敛，且其和为s±s．(证明)性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明)性质4：若级数收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数收敛，则它的一般项un趋于零，即．(证明)； 一、概念定义:设已给定数列,,…,…,称形式加法++…++…为无穷项数项级数.简称数项级数,又称级数.记为,即=++…++…,其中称为一般项.将其前项的和:=++…+称为级数的前项的部分和,或简称部分和.注1:由上我们便得到一个数列,,…,
4、,…,从形式上不难知道=,以前我们学过数列的收敛与发散,进而就不难得出级数的收敛与发散的概念.换而言之,有限个数相加为一数,无穷多个数相加是否仍为一个数呢?定义:当时,若部分和数列有极限,即=,就称常数项级数收敛,且称为其和,并记为:=++…++…,若数列没有极限,就称发散.注1:当级数收敛时,其部分和又可看成为的近似值.两者之差=++…称为级数的余项.用代替所产生的误差就是它的绝对值,即.注2:到目前为止,已了解的级数的基本概念,特别了解了级数的收敛与发散性(敛散性)是由其部分和数列的敛散性所决定的.确切地说,两者敛散性是相同的.为此,可把级数看成是数列的一种表现形式.如设为一数列,令=,
5、=,…,=,,则这样就由一数列产生一个级数.可见数列与级数可以相互转化.[例1]讨论一个简单级数―几何级数(等比级数):的敛散性.其中解:我们先考虑其部分和:=利用中学知识,得=(时)(I)当时,由于==,故几何级数收敛,且收敛于.(II)当时,由于=不存在,故此时几何级数发散.(III)当时,此时几何级数为:,=()此时级数发散.(IV)当时,级数为,=,不存在.故此时级数发散.综上所述,几何级数在时收敛,在时发散.[例2]证明级数收敛.证:首先,由于==+++…+===原级数收敛,且收敛于.[例3]证明调和级数发散.证:==++…+++…+===当时,.显然不存在.故原级数发散.一、性质
6、性质1:(收敛的必要条件)收敛的级数的一般项极限为0.即收敛,则.证:设收敛于.即=.注1:若反之,则不一定成立.即,原级数不一定收敛.如调和级数发散,但.注2:收敛的必要条件常用来证明级数发散.即若,则原级数一定不收敛.性质2:在级数前增加或去掉有限项,不改变级数的敛散性.但在级数收敛时,其和可能改变.证:++…++…的部分和序列为++…++…的部分和序列为.则,由于为有限数,则为一个有限数.则与同敛散.若原级数收敛,则==.则收敛.即++…++…收敛若原级数发散,则不存在,故也不存在.则发散.即++…++…发散.性质3:若级数收敛于,则它的各项都乘以一常数所得的级数收敛于.即=性质4:若
7、级数和分别收敛于和,则级数收敛于.注1:称为级数与的和与差.注2:若级数和之中有一个收敛,另一个发散,则发散.若两个都发散,情况又如何呢?思考.性质5:收敛级数加括号后(不改变各项顺序)所产生的级数仍收敛于原来级数的和.注1:这里所谓加括号,就是在不改变各项的顺序的情况下,将其某项放在一起作为新的项,而产生的级数.当然,加括号的方法是有无穷多种的.注2:若级数在加括号后所得的级数发散,那么原级数发散.但是,某
