2020年高三数学大串讲第10讲（“变角与变式”在三角求值中的应用问题）（解析版）.doc

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1、第10讲（“变角与变式”在三角求值中的应用问题）【目标导航】通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通

2、常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.【例题导读】例1、已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．例2、设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.(1)求tan的值；(2)求cos的值．【解析

3、】(1)因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b.所以sina＋cosα＝，所以sin＝.因为α∈，所以α＋∈，所以cos＝，故sin＝＝所以tan＝.(2)由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分)因为α∈，所以2α＋∈，所以sin＝.所以cos＝coscos－sinsin＝.例3、求值：．【答案】【解析】因为．例4、已知sinα＝3sin，则tan＝________.【答案】：2－4【解析】解法1由题意可得sin＝3sin，即sincos－cos·sin＝3sincos＋3cossin，所以tan＝－2tan＝－2tan＝－＝2－4.解

4、法2tan＝tan＝＝2－.因为sinα＝3sinαcos＋3cosαsin，即sinα＝sinα＋cosα，即tanα＝，所以tan＝＝＝＝2－4.例5、已知，则的值是_____.【答案】.【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，例6、设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．【答案】　【解析】解法1(方程法)　因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝，即＝tan＝tan＝.解法2(系数比较法)　tan＝tan＝＝，tan＝＝，所以＝.例7、求函数的值域【答案】【解析】==-2所以函数的值域为：【反馈练习

5、】1、已知α∈，β∈，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ＝________.【答案】－　【解析】因为α∈，cosα＝，所以sinα＝.又α＋β∈，，sin(α＋β)＝－＜0，所以α＋β∈，故cos(α＋β)＝－，从而cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×－×＝－.2、已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．【答案】π【解析】因为(tanα－1)(tanβ－1)＝2，所以tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＋1＝2，即＝－1，所以tan(α＋

6、β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝π.3、若2cos2α＝sin，α∈，则sin2α＝________．【答案】－　【解析】解法1　设－α＝β，则α＝－β.由2cos2α＝sin，得2cos＝2sin2β＝4sinβcosβ＝sinβ，而sinβ≠0，故cosβ＝.所以sin2α＝sin＝cos2β＝2cos2β－1＝－.解法2　由2cos2α＝sin得2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(cosα－sinα)．又α∈，则cosα－sinα≠0，故cosα＋sinα＝.两边平方得sin2α＝－.4、已知θ是第四

7、象限角，且cosθ＝，那么的值为________．　【解析】因为θ是第四象限角，所以sinθ<0，则sinθ＝－＝－，所以＝＝＝＝＝.5、由sin36°＝cos54°，可求得cos2016°的值为________．【答案】－【解析】由sin36°＝cos54°得sin36°＝2sin18°cos18°＝cos(36°＋18°)＝cos36°cos18°－sin36°sin18°＝(1－2sin218°)·cos18°－2sin218°cos18°＝cos18°－4sin218°cos18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，解得sin18°

8、＝＝，cos2016°＝cos(6×360°－144°)＝cos144°＝－cos36°＝2sin218°－