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1、几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题屮，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面儿何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值:典型例题：例1.（2012山东济南3分）如图，ZM0N=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边0M,0N上，当B在边0N上运动吋，A随之在边
2、0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其AB=2,BC=1,运动过程屮，点D到点0的最大距离为【】A.V2+1B.V5例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC屮，BC=4血，ZABC=45°,BD平分ZABC,M、4分别是BD、BC上的动点，贝ijCM+MN的最小值是。A例3、己矢口A（l,5）,B（3,-1）两点，在x轴上取一点M,使AM-BM取得最大值时,则M的坐标为（）练习题：1.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC'P，E、F、G分别为AB、AC、BC的屮点，点P为线段EF上一个动点，连接BP.GP,则厶册仑的周长的最小值是▲・2、（2012四川眉山3
3、分）在厶ABC中，AB=5,AC=3,AD是BC边上的中线,则AD的取值范囤是.二、应用垂线段最短的性质求最值:典型例题:例4・（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD'P，AB=2,ZA=120°，点P,Q,K分别为线段A.1B.5/3BC,CD,BD上的任意一点,例5・（2012四川广元3分）如图，点A的坐标为（-1,0）,点B在直线y=x丄运动，当线段AB最短吋，点B的坐标为【】A.(0,0)例6・（2012浙江宁波3分）如图，△ABC屮，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB二2血，D是线段BC丄的一个动点，以AD为直径画00分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小
4、值为.练习题：1.（2011浙江衢州3分）如图，0P平分ZMON,PA丄0N于点A,点Q是射线0M上的一个动点，若PA=2,则PQ的最小值为【】A、1B、2C、3D、42.（2011四川南充8分）如图,等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=AB=CD=2,ZC=60°,M是BC的中点.（1）求证：AMDC是等边三角形；（2）将AMDC绕点M旋转,当MD（即MD‘）与AB交于一点E,MC（即MC'）同时与AD交于一点F吋，点E,F和点A构成△AEF.试探究AAEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由；如果存在，请计算出AAEF周长的最小值.5.（2011云南昆明12分）如图，在RtAAB
5、C中,ZC=90°,AB=10cm,AC：BC=4：3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为lcm/s,同吋点Q从点B出发沿B-C-A方向向点A运动，速度为2cm/s,当一个运动点到达终点吋，另一个运动点也随之停止运动.（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一•点M,使ABCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由.C三、应用轴对称的性质求最值:典型例题:例7・（2012四川攀枝花4分）如图，正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为例8.(2012广西贵港2分)如图，MN为O0的直径，A、B是0上的两点，过A作AC丄M
6、N于点C,过B作BD丄MN于点D,P为DC上的任意一点，若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是例9.(2012湖北十堰6分)阅读材料：例：说明代数式Q77+J(x一纤+4的几何意义，并求它的最小值.(1)代数式J(x-1)?+1+J(x-2尸+9的值可以看成平面直角坐标系屮点P(x,0)与点A(1,1)、点B的距离之和.(填写点B的坐标)(2)代数式3+49+Jx?-12x+37的最小值为.练习题:(2011龙江大庆3分)如图,已知点A(l,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点,RIJAABP的周长的最小值为2.(2011辽宁营口3分)如图，在平而直角坐标系屮，有A(l,2
7、),B(3,3)两点，现另取一点C(a,1),当8=时，AC+BC的值最小.3.(2011甘肃天水4分)如图，在梯形ABCD屮，AB//CD,ZBAD=90°,AB二6,对角线AC平分ZBAD,点E在AB上，且AE二2(AEVAD),点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是▲•四、应用二次函数求最值：典型例例10.(2012四川自贡4分)正方形ABCD的边长为lcm,M、N分别是BC・CD上两个
