导数进阶大法.pdf

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1、导数进阶大法前言：导数作为压轴题备选，难度是很大的.遗憾的是，高中讲述的导数方法太少，课堂上留给导数的时间也不多，于是导数题同学们只能自己钻研.而它的难度很大，辅导书上的解法又过于繁杂，笔者将自己总结的经验列出来，并辅以练习题.希望能给同学们一点帮助.此专项分为两大部分，第一部分是各种技巧，全部为例题形式.第二部分是练习题.第一部分又分两部分.第一部分是函数研究三部曲.第二部分是零碎的技巧.Content一．函数研究三部曲1.多次求导……………………………………………………………………例1、22.猜根法……………

2、…………………………………………………………例3、43.无法求出的零点………………………………………………………………例5二．技巧部分4.描绘函数的图像5.分参法………………………………………………………………………例6-126.等价转换①看破…………………………………………………………………………例13b②t…………………………………………………………………………例14a③xlnx的分离……………………………………………………………………例15④对数……………………………………………………………………………例

3、167.参数特值的应用①基本应用……………………………………………………………………例17②ln的求和………………………………………………………………………例18③f(0)0………………………………………………………………………例19一．函数研究三部曲在这一部分，我们将通过几个例题总结出函数研究的基本套路，称作“函数研究三部曲”.1.多次求导.在高等数学中叫做“高阶导数”.多次求导不需要新的方法，却有巨大的作用.sinx例1（2014北京改编）f(x)，x(0,)，判断f(x)的增减性.x2xcosxs

4、inx给f(x)求导.f'(x).2x接下来，我们的惯用手段是令f'(x)=0，解出零点.但是我们发现，xcosxsinx0并不好解.这时我们需要新的办法.1令h(x)xcosxsinx，x(0,).2则h'(x)xsinx,x(0,),sinx＞0,h'(x)＜02h(x)在x(0,)时单减.h(x)＜h(0)0.2这意味着f'(x)的分子是负的.所以f'(x)＜0.所以f(x)在x(0,)时单减.2【思考：1.对于分式函数，求导后分母是正的，常常将分子另设一个函数进行

5、分析.2.通过二次求导可以看出，f'(x)=0在（0，）上是无解的，如果一味2去求导函数的零点，这个题就做不出来了.】x例2（2013年山东）设函数fx()ce(2.71828是自然对数的底数，2xecR).（1）求fx()的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程

6、ln

7、xfx()根的个数.（1）略（2）设g(x)f(x)

8、lnx

9、，题目变为g(x)的零点问题.xlnxc,x1，2xeg(x)，于是对x分区间讨论.xlnxc，x0,1e2x2x2x22x

10、e2xe1x2xex1,时，g'(x).2x22x(e)xxe22x2x2x令(x)x2xe，x1,，则'(x)14x2e,''(x)44e,2x1,时，''(x)＜0，'(x)单减，'(x)'(1)32e＜0,2(x)单减，(x)(1)1e＜0,g'(x)＜0,g(x)单减-2g(1)0，即ce时，g(x)在1,上有一个零点-2g(1)＜0，即c＜e时，g(x)在1,上没有零

11、点2x2x22xe2xe1x2xex0,1时，g'(x).2x22x(e)xxe222x2x2x2x令h(x)x2xe,x0,1,则h'(x)14x2e,h''(x)44e4(e1)x0,1时，h''(x)＞0，h'(x)单增，h'(x)＞h'(0)3＞0h(x)单增，h(x)＞h(0)1＞0，g'(x)＞0,g(x)单增-2g(1)0，即ce时，g(x)在0,1上有一个零点-2g(1)＜0，即c＜e时，g(x)在0,1上没

12、有零点-2注意到ce时，0,1和1，的零点重合，为x1-2c＞e时，方程有两个根-2综上所述，ce时，方程有一个根-2c＜e时，方程没有根【思考：这是一道只用多次求导就可以解决的大题.多次求导很少单独出现解决问题，但它是基础方法.要体会一层一层导下去，再一层一层推回来的感觉.】2.猜根法2例3f(x)3xxxlnx，求f(x)的