导数进阶2双参数.docx

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1、导数进阶2双参数三、双参数中知道其中一个参数的范围型：【例题5】（17天津理）已知函数，其中，．（1）讨论函数的单调性；（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．解：（1）．当时，显然．这时在，上内是增函数．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：0－0↗极大值↘↘极小值↗∴在，内是增函数，在，内是减函数．（2）法一：化归为最值．由（2）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对成立．从而得，∴满足条件的的取值范围是．法二：变量分离．∵，∴，即．令，，∴在上递减，最小值为，从而得，∴满足

2、条件的的取值范围是．或用，即，进一步分离变量得，利用导数可以得到在时取得最小值，从而得，∴满足条件的的取值范围是．法三：变更主元．第4页共4页在上恒成立，即，，∵，∴在递增，即的最大值为．以下同上法．说明：本题是在对于任意的，在上恒成立相当于两次恒成立，这样的题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．【例题6】设函数，，若对于任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．解：在上恒成立，即在上恒成立．由条件得，又，∴，即．设，则．令，，当，；当，，∴时，，于是，∴在递减，∴的最小值为，∴，因此满足条件的的取值范围是．【针对

3、练习7】设函数，其中，．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　四、双参数中的范围均未知型：【例题7】（17湖南理）已知函数，对任意的，恒有．（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件的任意，，不等式恒成立，求的最小值．解：（1）易知．由题设，对任意的，，即恒成立，∴，从而．于是，且，因此．故当时，有，即当时，．（2）由（1）知，．当时，有．令，则，．而函数的值域是第4页共4页．因此，当时，的取值集合为．当时，由（1）知，，．此时或，．从而恒成

4、立．综上所述，的最小值为．【针对练习8】若图象上斜率为3的两切线间的距离为，设．（1）若函数在处有极值，求的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　五、双参数中的线性规划型：【例题8】（17浙江理）已知，，函数．（1）证明：当时，①函数的最大值为；②；（2）若对恒成立，求的取值范围．解：（1）①．当时，，在上恒成立，∴在上递增，此时的最大值为：；当时，，此时在上递减，在上递增，∴在上的最大值为：．综上所述：函数在上的

5、最大值为．②∵，当时，．当时，．设，，列表可得，∴当时，，∴．（2）由①知：函数在上的最大值为，∴．由②知：，于是对恒成立的充要条件为：第4页共4页或，在坐标系中，不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段．作一组平行线，得，∴的取值范围为．【针对练习9】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若的两个极值点，恒满足，求的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　六、双参数中的绝对值存在型：【例题9】（16湖北理）设是函数的一个极值点．（1）求与的关系式（用表示）

6、，并求的单调区间；（2）设，．若存在，使得成立，求的取值范围．解：（1），由，得，即得，则．令，得或，由于是极值点，∴，即．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．（2）由（1）知，当时，，在区间上的单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上的值域是，而，，，那么在区间上的值域是．又在区间上是增函数，且它在区间上的值域是，由于，∴只须仅须且，解得．故的取值范围是．【针对练习16】（10辽宁理）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（

7、2）设，如果对任意，，，求的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第4页共4页