含参数导数问题点

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1、一、求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。例1设，函数，试讨论函数的单调性。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。例2已知是实数，函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设为在区间上的最小值。（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。三、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例3已知函数，其中。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。例4（改编

2、）设函数，其中，求函数的极值点。例5已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）（II）设.如果对任意，，求的取值范围。例6已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。例7设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，，，且，若

3、

4、<

5、

6、，求的取值范围。例1解：。考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。（一）若，

7、则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；（2）当时，。由，得，因为，所以。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；（2）当时，。由，得；由，得。因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。例2解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。（1）当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。（2）当时，由，

8、得；由，得。因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以。②当，即时，在上单调递减，所以。例3解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。（Ⅱ）由于，所以。由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。（1）当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。（2）当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为

9、减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。例4解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：。这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：0递减极小值递增（ⅰ）当时，，所以。此时，与随的变化情况如下表：递增极大值递减极小值递增由此表可知：当时，有唯一极小值点。（ⅱ）当时，，所以。此时，与随的变化情况如下表：由此表可知：当时，有一个极大值点

10、和一个极小值点。例5解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].例6解：（I）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和

11、，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是例7（1）(i)∵时，恒成立，∴函数具有性质；(ii)（方法一）设，与的符号相同。当时，，，故此时在区间上递增；当时，对于，有，所以此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，，故此时在区间上递增；（方法二）当时，对于，所以，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增。(2)（方法一